[論文レビュー] On the condensation property of the Lamplighter groups and groups of Intermediate growth

Mustafa Gökhan Benli̇, Rostislav Grigorchuk|arXiv (Cornell University)|May 7, 2014

Geometric and Algebraic Topology参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、Lamplighter群 $L = \mathbb{Z}_2 \wr \mathbb{Z}$ が、中間的成長を示す2生成群のCantor集合 $\mathcal{L} \subset \mathcal{M}_2$ を構成することにより、凝縮群であることが示されている。L群はその最小表示と、Cantor集合にホメオモーティックなperfect核への位相的埋め込みによって、凝縮群であることが証明される。

ABSTRACT

The aim of this short note is to revisit some old results about groups of intermediate growth and groups of the lamplighter type and to show that the Lamplighter group $L=\mathbb{Z}_2\wr \mathbb{Z}$ is a condensation group and has a minimal presentation by generators and relators. The condensation property is achieved by showing that $L$ belongs to a Cantor subset of the space $\mathcal{M}_2$ of marked 2-generated groups consisting mostly of groups of intermediate growth.

研究の動機と目的

• Lamplighter群 $L = \mathbb{Z}_2 \wr \mathbb{Z}$ が、マークされた2生成群の空間 $\mathcal{M}_2$ の凝縮部分に属することを示すこと。
• 中間的成長を示す群と、定数列に対して $L$ と同型となる群からなる、Cantor集合にホメオモーティックな非可算かつperfectな部分集合 $\mathcal{L} \subset \mathcal{M}_2$ を構成すること。
• $L$ が無限最小表示を備えていることにより、位相的および代数的基準を用いてその凝縮性質を確認すること。
• 既知の結果を拡張し、無限の有限生成群の制限されたワレル積が常に凝縮群であることを証明すること。$L$ はその主要な例である。

提案手法

• 根付き木の自己同型を用いて、無限列 $\omega \in \{0,1,2\}^\mathbb{N}$ でインデックス付けされたマーク付き群の族 $\{(L_\omega, T_\omega) \mid \omega \in \Omega\}$ を構成する。
• マークされた2生成群のコンパクトかつ完全不連結な空間 $\mathcal{M}_2$ を、Cayley図の球の同型に基づく超距離位相によって定義する。
• 写像 $\omega \mapsto (L_\omega, T_\omega)$ がコンパクトな定義域における連続な単射であることを示すことにより、部分集合 $\mathcal{L}$ がCantor空間 $\Omega$ にホメオモーティックであることを証明する。
• 無限最小表示を備えた群はperfect核 $\kappa(\mathcal{M}_k)$ に属するため、凝縮群であることを応用する。
• [Bau61] および [Cor11] の結果を用いて、$L$ が有限生成でないが、無限最小表示を備えていることを示す。
• 円積構成を用いて、標準的表示 $\langle s,t \mid s^2, [s,s^{t^i}] \text{ for } i \geq 1 \rangle$ の最小性を背理法により確認し、どの関係式も他のものから導出可能でないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Lamplighter群 $L = \mathbb{Z}_2 \wr \mathbb{Z}$ は、$\mathcal{M}_2$ の凝縮部分に属するか？
• RQ2 すべての群が中間的成長を示し、$L$ が特別な場合として含まれるような $\mathcal{M}_2$ のCantor部分集合を構成できるか？
• RQ3 標準的無限表示 $L$ は最小であるか？そして、その最小性は凝縮性質を示唆するか？
• RQ4 無限の有限生成群の制限ワレル積 $H \wr G$ は常に凝縮群か？
• RQ5 マーク付き群の空間における最小表示と凝縮性質の関係は何か？

主な発見

• Lamplighter群 $L = \mathbb{Z}_2 \wr \mathbb{Z}$ は、perfect核 $\kappa(\mathcal{M}_2)$ に属するため、凝縮群である。
• 中間的成長を示す群と、定数列に対して $L$ と同型となる群からなる、Cantor集合 $\mathcal{L} \subset \mathcal{M}_2$ が構成され、$\mathcal{L} \cong \Omega = \{0,1,2\}^\mathbb{N}$ である。$\mathcal{L}$ のすべての群は凝縮群である。
• 非最終的に定数でない $\omega$ に対して、群 $L_\omega$ は中間的成長を示す。定数列 $\omega$ に対しては $L_\omega \cong L$ である。
• 群 $L$ の標準的表示 $\langle s,t \mid s^2, [s,s^{t^i}] \text{ for } i \geq 1 \rangle$ は最小である。どの関係式も他のものから導出可能でない。
• この表示の最小性により、$L$ は $\mathcal{M}_2$ の凝縮部分に属する。これは、$L$ の凝縮性質を示す代替的証明を提供する。
• この構成により、$L$ がperfect核への位相的埋め込みによって凝縮群であることが確認され、無限群のワレル積が常に凝縮群であるという既知の結果が拡張される。