[論文レビュー] On the conjugacy problem for finite-state automorphisms of regular rooted trees

Ievgen Bondarenko, Nataliya Bondarenko+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2010

semigroups and automata theory参考文献 21被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、正則根付き木の有限状態自己同型の共軛問題が、収縮条件および軌道信号子の有限性の下で決定可能であることを確立し、これらの条件下で、全自己同型群 Aut(T) 内の共軛が、部分群 FAut(T) 内の共軛と一致することを証明している。結果は、有界自己同型へと拡張され、同時に共軛問題についても決定可能である。

ABSTRACT

We study the conjugacy problem in the automorphism group $Aut(T)$ of a regular rooted tree $T$ and in its subgroup $FAut(T)$ of finite-state automorphisms. We show that under the contracting condition and the finiteness of what we call the orbit-signalizer, two finite-state automorphisms are conjugate in $Aut(T)$ if and only if they are conjugate in $FAut(T)$, and that this problem is decidable. We prove that both these conditions are satisfied by bounded automorphisms and establish that the (simultaneous) conjugacy problem in the group of bounded automata is decidable.

研究の動機と目的

• 正則根付き木 T の自己同型群 Aut(T) 及びその部分群 FAut(T)（有限状態自己同型）における共軛問題を解明すること。
• Aut(T) 内の共軛が FAut(T) 内の共軛を意味する条件を特定し、決定可能性を保証すること。
• 自己同型群理論における重要なクラスである有界自己同型群へと決定可能性の結果を拡張すること。
• 軌道信号子および収縮条件が、共軛問題のアルゴリズム的解法を可能にする役割を確立すること。

提案手法

• 自己同型群 Aut(T) と有限状態オートマトンとの間の対応関係を、 wreath 積構造 Aut(T) ≅ Aut(T) ≀ Sym(X) を通じて活用する。
• 状態の自己同型作用における共軛関連動的性質を捉える有限不変量として、軌道信号子を定義する。
• 収縮条件を適用して状態の動的挙動が安定化することを保証し、共軛経路の有界解析を可能にする。
• 共軛問題を、オートマトン作用の行列表現における軌道の有界性の確認に還元する。
• 到達可能な状態および遷移行列を反復的に計算するアルゴリズムを用い、新たな要素が追加されない時点で停止する。
• 状態の進化と列の有界性のテストをモデル化するため、行列変換 σ(A) およびベクトル写像 τ(v) を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限状態自己同型について、Aut(T) 内の共軛が FAut(T) 内の共軛に一致する条件は何か？
• RQ2 有界自己同型、有限状態自己同型の顕著な部分クラスについて、共軛問題は決定可能か？
• RQ3 共軛問題の決定可能性を可能にする構造的性質（例：軌道信号子、収縮条件）は何か？
• RQ4 行列要素の制約が異なる場合に、共軛テストの根拠となる有界軌道問題は決定可能か、または不決定可能か？
• RQ5 共軛問題は、行列列における有界性のチェックに還元可能か？ また、そのチェックはアルゴリズム的に実行可能か？

主な発見

• 収縮条件および軌道信号子の有限性が成り立つ限り、2つの有限状態オートマトンが Aut(T) 内で共軛であることは、FAut(T) 内で共軛であることと同値である。
• これらの2条件が成り立つ限り、FAut(T) 内での共軛問題は決定可能であり、有界自己同型は両条件を満たす。
• 有界自己同型群における同時共軛問題も決定可能であり、複数要素への決定可能性の拡張がなされた。
• 非負行列および非負ベクトルの制約下では、有界軌道問題は決定可能であり、到達可能な状態の反復的閉包に基づく有限時間アルゴリズムが存在する。
• 非負行列要素の下では有界軌道問題は NP 困難であり、負の要素が許可される場合には、行列消滅問題への還元により不決定的であることが示された。
• 有限状態の行列およびベクトルの閉包を用いて、σ(A)^t τ(v) の解析により、A^t v の有界性が正しくテストされ、停止性が保証される。