[論文レビュー] On the convergence and singularities of the J-flow with applications to the Mabuchi energy

Jian Song, Ben Weinkove|arXiv (Cornell University)|Oct 19, 2004

Geometry and complex manifolds参考文献 20被引用数 24

ひとこと要約

本稿は、コンpact Kähler多様体上のJ-フローの収束およびJ汎関数方程式の解となる臨界計量の存在について、必要十分条件を確立する。新たな(n−1,n−1)-形式に関する正性条件を用いて、J-フローが滑らかに解に収束するための必要十分条件を示した。具体的には、Kähler類$[\chi_0]$に属するある計量$\tilde{\chi}$に対して$ (nc\tilde{\chi} - (n-1)\omega) \wedge \tilde{\chi}^{n-2} > 0 $が成り立つとき、J-フローは滑らかに解に収束する。これは、MabuchiエネルギーとcscK計量に関連するKähler幾何における長年の予想を解決するものである。

ABSTRACT

The J-flow of S. K. Donaldson and X. X. Chen is a parabolic flow on Kahler manifolds with two Kahler metrics. It is the gradient flow of the J-functional which appears in Chen's formula for the Mabuchi energy. We find a positivity condition in terms of the two metrics which is both necessary and sufficient for the convergence of the J-flow to a critical metric. We use this result to show that on manifolds with ample canonical bundle, the Mabuchi energy is proper on all Kahler classes in an open neighborhood of the canonical class defined by a positivity condition. This improves previous results of Chen and of the second author. We discuss the implications of this for the problem of the existence of constant scalar curvature Kahler metrics. We also study the singularities of the J-flow and, under certain conditions (which always hold for dimension two) derive estimates away from a subvariety. In the case of Kahler surfaces we use these estimates to confirm, at least in a certain sense, a conjectural remark of Donaldson that if the J-flow does not converge then it should blow up over some curves of negative self-intersection.

研究の動機と目的

• コンパクトKähler多様体と2つのKähler類を用いたJ-フローの収束に関する必要十分条件を確立すること。
• 条件$[nc\chi_0 - (n-1)\omega] > 0$が臨界計量の存在に十分であるという予想を解決すること。
• J-フローの収束、臨界方程式、およびMabuchiエネルギーの有界性との関係を明確にすること。
• 曲率やクラス条件に基づくJ-フローの既存の結果を、鋭い内在的幾何的基準へと拡張すること。

提案手法

• J-フローの収束を特徴付ける、新たな(n−1,n−1)-形式に関する正性条件を導入：$ (nc\chi' - (n-1)\omega) \wedge \chi'^{n-2} > 0 $。
• 初期データをKählerポテンシャルの空間$\mathcal{H}$にとるJ-フロー方程式$ \partial_t\phi = c - \frac{\omega \wedge \chi_\phi^{n-1}}{\chi_\phi^n} $を用いる。
• 最大原理および曲率推定を用いて$\phi$とその微分の時間発展を制御し、一様な$C^\infty$収束を証明する。
• フローが特異性を示す可能性のある特異点集合$S$を分析し、正性条件が成り立つならば、$S$を除くコンパクト部分集合上でフローが滑らかに収束することを示す。
• Siuの分解およびDemaillyの電流に関する結果を用いて、特に負の曲線をもつ表面における複素次元2のKähler錐構造を分析する。
• Mabuchiエネルギーが下から有界であるのは、臨界方程式が解を持つときであり、かつそのときに限ることを用いて、J-フローの収束と幾何的不変理論における安定性を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトKähler多様体上でのJ-フローが滑らかに臨界計量に収束するための必要十分条件は何か？
• RQ2 条件$[nc\chi_0 - (n-1)\omega] > 0$は、臨界方程式$\omega \wedge \chi^{n-1} = c\chi^n$の解の存在に十分か？
• RQ3 $(n-1,n-1)$-形式$ (nc\chi' - (n-1)\omega) \wedge \chi'^{n-2} $の正性は、Mabuchiエネルギーの有界性とどのように関係するか？
• RQ4 クラス条件$[nc\chi_0 - (n-1)\omega] > 0$が成立しない場合でも、より弱い正性仮定のもとでJ-フローが臨界計量に収束する可能性はあるか？
• RQ5 負の曲線は、J-フローの収束およびMabuchiエネルギーの適切性を妨げる役割を果たすか？

主な発見

• J-フローが$C^\infty$で臨界計量に収束するための必要十分条件は、$[\chi_0]$に属する計量$\chi'$が存在して$ (nc\chi' - (n-1)\omega) \wedge \chi'^{n-2} > 0 $を満たすことである。
• 条件$ (nc\chi' - (n-1)\omega) \wedge \chi'^{n-2} > 0 $は、$[nc\chi_0 - (n-1)\omega] > 0$よりも厳密に弱いが、依然として収束に十分である。
• 臨界方程式$\omega \wedge \chi^{n-1} = c\chi^n$の解の存在は、任意の初期データに対するJ-フローの収束と同値である。
• Kähler表面では、条件$[nc\chi_0 - \omega]^2 > 0$および$[nc\chi_0 - \omega] \cdot [\chi_0] > 0$が成り立つならば、$nc\chi_0 - \omega$はKähler類、または正の係数をもつ負の曲線類の和を引いたKähler類である。
• Kähler類上でMabuchiエネルギーが下から有界であるのは、臨界方程式が解を持つときであり、かつそのときに限る。これは、$(n-1,n-1)$-形式の正性条件が満たされているときに成立する。
• 境界ケース、すなわち$ (nc\chi' - (n-1)\omega) \wedge \chi'^{n-2} \geq 0 $のとき、$S$を除くコンパクト部分集合上でJ-フローが収束するという予想が提起されているが、未解決のままである。