[論文レビュー] On the Correspondence between Supersingular Elliptic Curves and maximal quaternionic Orders

Juan Marcos Cerviño|ArXiv.org|Apr 29, 2004

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、素数の特異性を持つ有限体の代数的閉包上の特異的楕円曲線の自己準同型環を決定的アルゴリズムで計算する手法を提示する。量子数代数 $Χ_{\infty,p}$ における最大順序と特異的楕円曲線の明示的対応関係を確立することで、判別式 $-p$ の三変数二次形式を用いて、自己準同型環のテンソル積 $\mathbb{Q}$ に対する基底をアルゴリズム的に決定し、同型を除いて完全な分類を達成する。

ABSTRACT

We present a deterministic and explicit algorithm to compute the endomorphism rings of supersingular elliptic curves. As an example we compute the endomorphism rings of all supersingular elliptic curves defined over characteristic p=29,...,97.

研究の動機と目的

• 有限体 $\overline{\mathbb{F}_p}$ 上の特異的楕円曲線と量子数代数 $\mathbb{Q}_{\infty,p}$ の最大順序との間の構成的かつ明示的な対応関係を確立すること。
• 任意の素数 $p$ に対して、$\overline{\mathbb{F}_p}$ 上のすべての特異的楕円曲線とその自己準同型環の基底を完全に列挙する決定的アルゴリズムを提供すること。
• デュアリングの古典的表を一般化し、アルゴリズム的に生成された新しい特異的曲線とその対応する最大量子数順序の表を計算すること。

提案手法

• アルゴリズムは、判別式 $-p$ の三変数正定値整数二次形式の同型類と $\mathbb{Q}_{\infty,p}$ の最大順序の同型型との間の双対性を確立するブランドト＝ソーン対応を利用する。
• 各二次形式は、セーバー記法 $\begin{pmatrix}a_{11}&a_{22}&a_{33}\\ a_{23}&a_{13}&a_{12}\\ &&\tau\end{pmatrix}$ で表され、これにより $\mathbb{Q}_{\infty,p}$ 内の対応する最大順序が構成される。
• 偶数クリフォード代数を用いて、各三変数形式に対し最大順序を関連付けることで、自己準同型環構造の明示的計算が可能になる。
• 各最大順序に対して、自己準同型環 $\operatorname{End}_{\overline{\mathbb{F}_p}}(E) \otimes \mathbb{Q}$ の $\mathbb{Z}$-基底 $\{1, e_1, e_2, e_3\}$ が計算され、環の具体的な表現が得られる。
• アルゴリズムは、$\mathbb{Q}_{\infty,p}$ の型数 $t_p$ と類数 $h_p$ の有限性に依存しており、アルゴリズムが停止し、すべての同型類を列挙できることを保証する。
• 最終出力は、$\overline{\mathbb{F}_p}$ 上の特異的曲線 $E$ と、その自己準同型代数の $\mathbb{Q}$ 上の基底のペアからなる表であり、デュアリングの元の表に類似している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、$\overline{\mathbb{F}_p}$ 上の特異的楕円曲線の自己準同型環を、決定的かつ明示的にアルゴリズム的に計算できるか？
• RQ2 $\overline{\mathbb{F}_p}$ 上の特異的楕円曲線の同型類と、量子数代数 $\mathbb{Q}_{\infty,p}$ の最大順序との間の正確な対応関係は何か？
• RQ3 デュアリングが確立した古典的対応関係は、三変数二次形式を用いてアルゴリズム的かつ計算的に有効にできるか？
• RQ4 各特異的曲線について、自己準同型代数 $\operatorname{End}_{\overline{\mathbb{F}_p}}(E) \otimes \mathbb{Q}$ の構造は何か？ そして、曲線の不変量からどのようにして計算できるか？

主な発見

• アルゴリズムは、各素数 $p$ に対して、$\overline{\mathbb{F}_p}$ 上のすべての特異的楕円曲線（同型を除いて）を完全に列挙し、自己準同型環のテンソル積 $\mathbb{Q}$ に対する $\mathbb{Z}$-基底を計算する。
• $\overline{\mathbb{F}_p}$ 上の特異的楕円曲線の同型類の数は、量子数代数 $\mathbb{Q}_{\infty,p}$ の型数 $t_p$ に等しく、一対一の対応関係が確認された。
• $p = 31$ の場合、アルゴリズムは 3 つの同型類を特定し、それらに対応する自己準同型環の型は三変数形式 $\begin{pmatrix}1&2&4\\1&0&0\\&&2\end{pmatrix}$、$\begin{pmatrix}1&2&5\\2&0&1\\&&2\end{pmatrix}$、$\begin{pmatrix}1&1&8\\0&1&0\\&&4\end{pmatrix}$ に対応する。
• $p = 47$ の場合、アルゴリズムは 5 つの同型類を計算し、それらに対応する自己準同型環の型は形式 $\begin{pmatrix}1&2&7\\0&1&1\\&&2\end{pmatrix}$、$\begin{pmatrix}1&2&6\\1&0&0\\&&2\end{pmatrix}$、$\begin{pmatrix}1&3&4\\1&0&0\\&&2\end{pmatrix}$、$\begin{pmatrix}1&1&12\\0&1&0\\&&4\end{pmatrix}$、$\begin{pmatrix}1&1&16\\0&1&1\\&&6\end{pmatrix}$ に対応する。
• この手法により、デュアリングの表に類似した表が得られるが、アルゴリズム的に生成されており、$p$ が 97 までに及ぶ項目について、$p$、同型類の数、対応する三変数形式を示している。
• アルゴリズムは、$\mathbb{Q}_{\infty,p}$ の類数 $h_p$ がすべての最大順序で一定であり、型数 $t_p$ が特異的曲線の数と一致することを確認し、理論的対応関係を検証した。