[論文レビュー] On the cost-subdifferentials of cost-convex functions

Young‐Heon Kim, Robert J. McCann|ArXiv.org|Jun 8, 2007

Point processes and geometric inequalities参考文献 16被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、コスト関数に A0, A1, A2, A3W 条件が成り立つ場合、コスト凸関数に対して、近似を用いず直接的な幾何的議論によって、コスト部分劣微分と通常の部分劣微分の等価性を確立する。主な結果は、これらの条件下で、c-凸ポテンシャルに対して c-部分劣微分 ∂cφ が古典的（通常の）部分劣微分 ∂φ に等しくなることであり、最適輸送における接触集合の連結性を示し、球面上での Loepers の Hölder 連続性理論を完成させる。

ABSTRACT

We are interested in the cost-convex potentials in optimal mass transport theory, and we show by direct and geometric arguments the equivalence between cost-subdifferentials and ordinary subdifferentials of cost-convex functions, under the assumptions A0, A1, A2, and A3W on cost functions introduced by Ma, Trudinger, and Wang. The connectivity of contact sets of optimal transport maps follows as a direct corollary. Our approach is quite different from the previous result of Loeper which he obtained as the first step toward his Hoelder regularity theory of potential functions, and which was based upon approximation using the regularity theory of Ma, Trudinger, and Wang. The result in this paper improves his result, by relaxing certain geometrical assumptions on the domains and targets; it also completes his Hoelder regularity theory of potential functions on the round sphere, by making it self-contained.

研究の動機と目的

• c-凸関数に対して、コスト部分劣微分と通常部分劣微分の等価性を直接的な幾何的証明で確立すること。
• 特に Loepers の近似に基づく手法に比べ、領域およびターゲットの幾何的仮定を緩和すること。
• 球面上の最適輸送ポテンシャルにおける Loepers の Hölder 連続性理論を完成させ、自己完備的に閉じること。
• Euclid 空間を越えて、Riemann 多様体や Ma-Trudinger-Wang 条件を満たす他のコスト関数に対しても、等価性 ∂cφ = ∂φ を一般化すること。

提案手法

• c-凸関数およびそのサポート関数 M_y(x) = -c(x,y) + const の直接的な幾何的解析を用いる。
• 接触集合の構造を分析するために、c-指数写像およびその定義域の概念を適用する。
• 接空間内でのレベル集合の単調性および凸性を確立するために、厳密な DASM（双対的ほぼ最小選択）の概念を用いる。
• c-指数写像の必要な凸性および正則性を保証するために、A3W 条件およびその強いバージョン A3S を用いる。
• 特異な場合（例えば、c が x=y で微分可能でない場合）に近似を用いて、結果を非滑らかなコスト関数へ拡張する。
• 距離関数の連続性を用いて、稠密部分集合から全領域（例：球面上）へ結果を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コスト関数 c にどのような条件下で、c-凸関数 φ に対して c-部分劣微分 ∂cφ が古典的部分劣微分 ∂φ に等しくなるか？
• RQ2 近似や正則性理論に依存せず、幾何的議論のみで等価性 ∂cφ = ∂φ を証明できるか？
• RQ3 A3W 条件の下で、球面などの非Euclid的領域に対しても等価性が成り立つか？
• RQ4 最適輸送写像における接触集合の連結性は、等価性 ∂cφ = ∂φ の直接的帰結か？
• RQ5 この幾何的アプローチを用いて、Loepers の Hölder 連続性理論を完成させ、自己完備的に閉じられるか？

主な発見

• コスト関数 c に対して A0, A1, A2, A3W 条件が成り立つとき、任意の c-凸関数 φ に対して、Ω ⊂ R^n（または多様体）上で ∂cφ = ∂φ が成り立つ。
• 結果は近似技法を用いず、Loepers の元々の証明で用いられた手法に比べ、領域およびターゲットの幾何的制約を緩和する直接的な幾何的議論によって証明される。
• 最適輸送写像における接触集合の連結性は、直接的に等価性 ∂cφ = ∂φ から導かれる。
• 球面 S^n において c(x,y) = ½d²(x,y) の場合、連続性および DASM 分析により、反対点でさえも、等価性 ∂cφ = ∂φ が全域で成り立つ。
• R^n×R^n∖{x=y} 上のコスト関数 c(x,y) = -½log|x−y|² に対しても、等価性 ∂cφ = ∂φ が全域で成り立ち、c-指数写像の定義域は R^n∖{0} であり、近似を用いて結果を拡張する。
• S^{n−1}×S^{n−1}∖{x=y} 上の反射アンテナコスト関数 c(x,y) = -½log|x−y|² は A3S を満たし、c-凸関数 φ に対しても ∂cφ = ∂φ が成り立つ。c*-Exp_y は T_yS^{n−1} を S^{n−1}∖{y} に写像する。