[論文レビュー] On the covariant formulation of Dirac's equation

Cornelius Lanczos|ArXiv.org|Aug 1, 2005

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 4被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、クォaternion微積分を用いてディラック方程式の共変テンソル形式を提示し、虚数単位に依存しない実数テンソル枠組みにディラック方程式を埋め込む。この方法により、ベクトル場および反対称テンソル場を含む二重方程式系が導入され、外部電磁ポテンシャルを含む場合にローレンツ変換下で整合性に欠けることが判明し、完全な内部整合性と共変性を達成するためには、基礎的なディラック理論の修正が求められると示唆する。

ABSTRACT

As a continuation of previous investigations, the formalism used there is extended to the case when an external electric field is present and the covariant formulation is performed again. The equation system obtained allows no restriction in the manifold of the quantities if an undesired overdetermination is to be avoided. The combined appearance of the dual formations also indicates an improbable internal properly of the system and suggests that the underlying Dirac equation needs a modification. (Editorial note: In this paper Lanczos continues to discuss his ``fundamental equation,'' from which two Dirac fields forming an isospin doublet, or two spin 1 fields of opposite parities, derive.)

研究の動機と目的

• 一般共変性を保ちつつ、外部電磁場を含むディラック方程式の共変テンソル形式を拡張すること。
• ハミルトンのクォaternion作用素から導かれるテンソル解析的枠組みにおいて、標準的な最小結合則（∂/∂x_i を ∂/∂x_i + iΦ_i に置換）を一貫して適用できるかを検証すること。
• 得られた系の内部整合性、特にローレンツ変換および反射における場の変換性を評価すること。
• 双対形式（例：ホッジ双対）が計量の行列式に起因する符号の曖昧性を引き起こし、一般共変性を損なうかどうかを特定すること。
• テンソルに基づく形式が、より高い内部整合性と場の理論的明確性を求めるために、ディラック方程式の自然な改善または修正への道筋を示唆するかを探索すること。

提案手法

• ハミルトンのクォaternion作用素の基本的構造から導かれる2つの結合テンソル方程式 ∇̄F + iΦ̄F = αG*, ∇G* + iΦG* = αF を用いて、ディラック方程式を定式化する。
• ∂/∂x_i を ∂/∂x_i + iΦ_i に置換することで最小結合則を適用し、ローレンツ変換下での共変性を保証する。ここで Φ_i は 2π/h e でスケーリングされたベクトルポテンシャルである。
• クォaternion代数およびテンソル変換則に整合するように、複素共役および双対操作（例：G* および F*）を導入する。
• 系のローレンツ変換および反射における変換性を分析し、計量の行列式 √g の符号の曖昧性が極性ベクトルと軸性ベクトルの分類に影響することを特定する。
• ベクトルポテンシャル Φ_i、電流、および場強度テンソルが反射において軸性ベクトルとして扱われる必要があることが示され、√g の符号が固定されない限り整合性に欠ける。
• 双対および非双対両方の場が存在する状況で双対形式が用いられると、過剰に決定された系（overdetermined system）が生じ、現在の形式に根本的な欠陥がある可能性を示唆し、理論的再考が求められると提言する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 クォaternion微積分を用いた完全に共変なテンソル形式において、外部電磁場を含むディラック方程式を一貫して拡張できるか？
• RQ2 なぜベクトルポテンシャル Φ_i の導入が、2つの方程式において導関数項に逆符号の結合を生じさせるのか？
• RQ3 ホッジ双対などの双対形式が、特に反射におけるローレンツ変換下での場の変換性に与える影響は何か？
• RQ4 なぜ計量の行列式 √g の符号が曖昧性を引き起こし、一般共変性を破るのか？この曖昧性はテンソル枠組み内でどのように解消できるか？
• RQ5 特にベクトルポテンシャル Φ_i が軸性ベクトルとして扱われる必要があるという変換性の不整合は、現在のディラック方程式形式に根本的な欠陥を示唆しているのか？

主な発見

• 最小結合則 ∂/∂x_i → ∂/∂x_i + iΦ_i はテンソル形式において一貫して適用可能であり、共変性を保ちつつ2つの結合方程式系を導く。
• 得られた系には、H および H′ に対する2つのディラック型方程式が含まれており、これらは元のディラック方程式に等価だが、ゲージ結合の符号が逆転しているため、双対構造を示している。
• 反射に対して根本的な整合性の欠如が生じる：ベクトルポテンシャル Φ_i は軸性ベクトルとして扱われる必要があるが、物理的期待とは対照的に、これは極性ベクトルとしての変換性と矛盾する。
• √g の符号の曖昧性は右ねじ系と左ねじ系の区別を生じさせ、符号が慣習的に固定されない限り一般共変性の原則に反する。
• 双対および非双対両方の場が共存する系は、過剰に決定された系を生じさせ、現在の形式は自己整合的ではなく、基礎的なディラック方程式の修正が求められると示唆する。
• テンソル解析的形式は、虚数単位 i が本質的ではなく、ホッジ双対の操作に対応することを明らかにし、全系が実数テンソル量として表現可能であることを示唆する。