[論文レビュー] On the CR Poincaré-Lelong equation, Yamabe steady solitons and structures of complete noncompact Sasakian manifolds

Der‐Chen Chang, Shu-Cheng Chang+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2018

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 23被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、体積減衰および積分条件の下でCR Poisson方程式を解くことにより、非負の擬ヘルミート双偏角曲率とねじれが消える完備非コンパクトな厳密に擬強凸CR多様体上でCR Poincaré-Lelong方程式の可解性を確立する。主な結果は、解の点ごとの勾配推定であり、これによりCRヤマベーステディソリトンの分類およびSasakian多様体の構造的結果が得られる。

ABSTRACT

In this paper, we solve the so-called CR Poincaré-Lelong equation by solving the CR Poisson equation on a complete noncompact CR $(2n+1)$-manifold with nonegative pseudohermitian bisectional curvature tensors and vanishing torsion which is an odd dimensional counterpart of Kähler geometry. With applications of this solution plus the CR Liouvelle property, we study the structures of complete noncompact Sasakian manifolds and CR Yamabe steady solitons.

研究の動機と目的

• 完備非コンパクトな厳密に擬強凸CR多様体上で非負の擬ヘルミート双偏角曲率とねじれが消える状況におけるCR Poincaré-Lelong方程式の可解性を確立すること。
• 体積減衰および積分条件の下でCR Poisson方程式を解くことにより、Kähler幾何学におけるMok-Siu-Yau型定理をCR設定に拡張すること。
• 解を用いて、完備非コンパクトなSasakian多様体の構造を研究し、CRヤマベーステディソリトンを分類すること。
• 部分リーマン幾何学および曲率仮定を用いて、CR Poisson方程式の解の点ごとの勾配推定を導出すること。
• このような多様体上での調和関数およびソリトン構造の解析のための道具として、CR Liouville性質を証明すること。

提案手法

• 非負の擬ヘルミートリッチ曲率とねじれが消える完備非コンパクトな厳密に擬強凸CR $(2n+1)$-多様体上でCR Poisson方程式 $\Delta_b u = f$ を解く。
• 測地球上での $f$ の平均に積分的減衰条件を課す：$\int_0^\infty k(t)dt < \infty$ および $\int_0^t s k(x,s) ds \leq h(t)$ で $h(t) = o(t)$。
• 接触分布 $\mathcal{D}$ 上での水平ヘッセ行列および接続形式を用いて定義されるサブラプラシアン $\Delta_b$ を用いる。
• Carnot-Carathéodory距離および体積成長を用いて、球 $B_x(t)$ 上での平均関数 $k_f(x,t)$ を定義する。
• 解 $u$ の点ごとの上界および下界を、$k(t)$ の積分を含む定数（$n$ および $\varepsilon$ に依存）を用いて導出する。
• 共変微分の交換関係および曲率成分を用いて高階微分を制御し、解の正則性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非負の擬ヘルミート双偏角曲率とねじれが消える完備非コンパクトな厳密に擬強凸CR多様体上で、CR Poisson方程式 $\Delta_b u = f$ がどのような条件下で解をもつか。
• RQ2 体積減衰および $f$ に対する積分条件が、CR Poisson方程式の解の存在および点ごとの境界にどのように影響するか。
• RQ3 非負の擬ヘルミート双偏角曲率とねじれが消える完備非コンパクトなSasakian多様体がどのような構造的性質を有するか。
• RQ4 曲率および体積成長の仮定の下で、CRヤマベーステディソリトンを分類することは可能か。
• RQ5 CR Liouville性質は、このような多様体上での調和関数およびソリトン構造を特徴付けるために果たす役割は何か。

主な発見

• 体積減衰および積分条件 $\int_0^\infty k(t)dt < \infty$ および $\int_0^t s k(x,s) ds \leq h(t)$ で $h(t) = o(t)$ の下で、CR Poisson方程式 $\Delta_b u = f$ は解をもつ。
• 解 $u$ の点ごとの勾配推定が確立され、$u(x)$ は $k(t)$ の積分を含む定数 $\alpha_1, \beta_i$（$n$ に依存）を用いて上界および下界で抑えられる。
• $f$ が $r^{-1}$ より速く減衰する場合、Corollary 1.1 で示されるようにCR Poisson方程式は解をもつ。
• CR Poisson方程式の解により、有界な調和関数に対するCR Liouville性質が証明される。
• これらの結果により、非負の擬ヘルミート双偏角曲率をもつ完備非コンパクトなSasakian多様体上でのCRヤマベーステディソリトンの分類が得られる。
• 非負の擬ヘルミート双偏角曲率とねじれが消える完備非コンパクトなSasakian多様体の構造は、CR Poincaré-Lelong方程式の解理論によって制約を受ける。