[論文レビュー] On the critical branching random walk I: Branching capacity and visiting probability

Qingsan Zhu|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2016

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 10被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、$d \geq 5$ の $ℤ^d$ の有限部分集合に対して、分岐ランダムウォークの臨界状態における離散的ポテンシャル理論を拡張するために、分岐容量を導入する。固定集合への訪問確率の漸近的法則および最初および最後の到着点の極限分布を確立し、これらがそれぞれ正規化された脱出および消滅測度に収束することを示し、分岐容量がスケーリング行動を支配することを示している。

ABSTRACT

We extend the theory of discrete capacity to critical branching random walk. We introduce branching capacity for any finite subset of $\Z^d, d\geq5$. Analogous to the regular discrete capacity, branching capacity is closely related to the asymptotics of the probability of visiting a fixed finite set by a critical branching random walk starting from a distant point and the conditional distribution of the hitting point.

研究の動機と目的

• 高次元（$d \geq 5$）における臨界分岐ランダムウォークへの古典的離散容量理論の拡張を図ること。
• 通常のランダムウォークの容量概念を一般化する新しい分岐容量の概念を定義すること。
• 初期位置が有限集合 $K$ から遠く離れた分岐ランダムウォークが $K$ を訪問する確率の漸近的法則、および $K$ の最初および最後の到着点の分布を確立すること。
• $K$ を訪問した条件付きで、最初および最後の到着点の分布が、それぞれ脱出確率および消滅確率に比例する測度に収束することを示し、正規化は分岐容量によって行われることを示すこと。

提案手法

• 二つの主要な関数を導入する：$\text{Es}_K(x)$ は、$x$ から出発する分岐ランダムウォークが永遠に $K$ を避ける確率であり、$\text{Esc}_K(x)$ は最後の訪問後 $K$ を避ける確率である。
• 有限集合 $K \subset \mathbb{Z}^d$ の分岐容量を $\text{BCap}(K) = \sum_{z \in K} \text{Es}_K(z) = \sum_{z \in K} \text{Esc}_K(z)$ として定義し、双対性により一貫性を保証する。
• グリーン関数と調和測度を用いて、到着確率を分岐容量に関連づけ、最初と最後の訪問分布の双対性を活用する。
• ランダムウォークの場合の定数 $a_d$ を用いて漸近的スケーリング法則を確立し、$\|x︱^{d-2} \cdot P(\mathcal{S}_x \text{ が } K \text{ を訪問する}) \to a_d \cdot \text{BCap}(K)$ が $\|x\| \to \infty$ のとき成り立つことを示す。
• 第一到着補題およびオーバーシュート補題を用いて、中空領域における到着確率を分解・推定し、幾何学的および確率的評価を適用する。
• $x \to \infty$ のとき、最初および最後の訪問点の条件付き分布が、それぞれ $\text{Es}_K(a)/\text{BCap}(K)$ および $\text{Esc}_K(a)/\text{BCap}(K)$ に収束することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的な離散容量の概念を高次元における臨界分岐ランダムウォークにどのように一般化できるか。
• RQ2 初期位置が有限集合 $K$ から遠く離れた臨界分岐ランダムウォークが $K$ を訪問する確率の漸近的挙動は何か。
• RQ3 $K$ を訪問した条件付きで、最初および最後の訪問点の極限分布は何か。
• RQ4 脱出確率 $\text{Es}_K(a)$ および消滅確率 $\text{Esc}_K(a)$ は、分岐容量 $\text{BCap}(K)$ とどのように関係するか。
• RQ5 $K$ との範囲の全交差集合が、$K$ を訪問した条件付きで分布収束するか。

主な発見

• 初期位置が $x$ である臨界分岐ランダムウォークが、固定された有限集合 $K \subset \mathbb{Z}^d$（$d \geq 5$）を訪問する漸近的確率は、$\|x︱^{d-2} \cdot P(\mathcal{S}_x \text{ が } K \text{ を訪問する}) \to a_d \cdot \text{BCap}(K)$ として $\|x\| \to \infty$ のとき収束する。ここで $a_d$ は古典的ランダムウォークの場合と同じ定数である。
• $K$ を訪問した条件付きで、最初の到着点の分布は $\text{Es}_K(a)/\text{BCap}(K)$ に収束する。ここで $\text{Es}_K(a)$ は $a$ から出発するときの脱出確率である。
• $K$ を訪問した条件付きで、最後の到着点の分布は $\text{Esc}_K(a)/\text{BCap}(K)$ に収束する。ここで $\text{Esc}_K(a)$ は $a$ から出発するときの消滅確率である。
• 分岐容量 $\text{BCap}(K)$ は適切に定義されており、$\sum_{z \in K} \text{Es}_K(z) = \sum_{z \in K} \text{Esc}_K(z)$ を満たすため、最初および最後の訪問の漸近的挙動の整合性が保証される。
• 条件付きで $K$ を訪問するとき、$\mathcal{S}_x$ の範囲と $K$ の全交差集合は、$x \to \infty$ のとき分布収束し、極限は進入点によって決定される。
• 証明は、中空領域への空間の幾何的分解、グリーン関数の推定、第一到着およびオーバーシュート補題を用いた調和測度の評価に依存しており、ジャンプ分布の $L^d$-減衰条件が可積分性を保証する。