[論文レビュー] On the critical branching random walk III: the critical dimension

Qingsan Zhu|arXiv (Cornell University)|Jan 31, 2017

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 8被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、臨界次元 $\mathbb{Z}^4$ における臨界的分岐ランダムウォークの漸近的挙動を確立し、固定された有限集合への訪問確率が $ (\|x\|^2 \log \|x\|)^{-1} $ のように衰えることを示している。このとき、集合に依存しない普遍定数が存在する。さらに、訪問が起こった条件付きで、最初の訪問点が分布収束することを証明し、サイズ条件付きにおける範囲の対数スケーリングも導出している。

ABSTRACT

In this paper, we study the critical branching random walk in the critical dimension, $Z^4$. We provide the asymptotics of the probability of visiting a fixed finite subset and the range of the critical branching random walk conditioned on the total number of offsprings. We also prove that conditioned on visiting, the first visiting point converges in distribution.

研究の動機と目的

• 臨界次元 $d=4$ における臨界的分岐ランダムウォークを分析すること。この次元では、対数補正が生じるため、高次元とは異なる挙動を示す。
• 始点が有限集合 $K$ から遠く離れている場合に、分岐ランダムウォークが $K$ を訪問する確率の正確な漸近的減衰率を導出すること。
• 訪問が起こった条件付きで、最初の訪問点が発散する進入点の数とは対照的に、分布収束することを確立すること。
• 全個体数が $n$ であると条件づけた場合の分岐ランダムウォークの範囲の漸近的スケーリングを特定すること。
• 超臨界次元における結果を臨界ケースに拡張し、対数補正と到達点の分布収束を考慮すること。

提案手法

• 分岐木上の深さ優先探索（DFS）順序を用いて、最初および最後の訪問時刻 $\tau_K$ と $\xi_K$ を定義する。
• ケンパーマンの公式と局所中心極限定理を用いて、最初の到達点の条件付き分布を分析する。
• $\mu$-ガルトン＝ワトソン木を生存確率で条件づけ、空間的運動をジャンプ分布 $\theta$ で記述する。
• 関数 $\Gamma_a(x) = \exp(-x^2/(2(1-a)))/(1-a)^{3/2}$ を用いて、DFS順序における最初の $an$ 頂点の極限的形状を記述する。
• DFS順序における木の左部分木と右部分木への分解を用い、重複を抑えながら範囲のスケーリングを導出する。
• 対称性とカップリングの議論を用いて、全木の範囲が $t n / \log n$ のまわりにきつく集中することを示す。ここで $t = 16\pi^2 \sqrt{\det Q}/\sigma^2$ である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 始点が $x$ である臨界的分岐ランダムウォークが、$\mathbb{Z}^4$ 内の固定された有限集合 $K$ を訪問する確率の漸近的減衰率は、$\|x\| \to \infty$ のときどのように振る舞うか？
• RQ2 始点が $\mathbb{Z}^4$ 内で無限遠に離れるとき、訪問が起こった条件付きで最初の訪問点が分布収束するか？
• RQ3 全個体数が $n$ であると条件づけた場合、分岐ランダムウォークの範囲はどのようにスケーリングするか？
• RQ4 全進入点数が発散するにもかかわらず、なぜ $d=4$ では最初の到達点の条件付き分布が収束するのか？
• RQ5 $\mathbb{Z}^4$ におけるサイズ条件付きでの範囲の対数スケーリングの正確な定数は何か？

主な発見

• 始点が $x$ である分岐ランダムウォークが、$\mathbb{Z}^4$ 内の固定された有限集合 $K$ を訪問する確率は、$ (\|x\|^2 \log \|x\|)^{-1} $ のように衰え、$ \lim_{\|x\| \to \infty} (\|x\|^2 \log \|x\|) \cdot P(\mathcal{S}_x \text{ が } K \text{ を訪問}) = \frac{1}{2\sigma^2} $ が成り立ち、これは $K$ に依存しない。
• 訪問が起こった条件付きで、最初の訪問点 $\mathcal{S}_x(\tau_K)$ は、$\mathcal{E}_K(a)$ に比例する測度に分布収束する。その極限は $ \frac{\sigma^2}{4\pi^2 \sqrt{\det Q}} \mathcal{E}_K(a) $ で与えられる。
• 全サイズが $n$ であると条件づけた場合の分岐ランダムウォークの範囲 $R_n$ は、$ \frac{\log n}{n} R_n \to \frac{16\pi^2 \sqrt{\det Q}}{\sigma^2} $ が $n \to \infty$ のとき確率的に成り立つ。
• 最初の到達点の収束は、$d=4$ における減衰率の対数補正のおかげで可能である。これは、進入点数が発散しても、条件付き分布が安定化することを保証する。
• 範囲のスケーリングは、DFS順序における木の左部分木と右部分木への分解により導出され、全範囲が2つの部分木の範囲の和のまわりにきつく集中していることが示された。
• 従来の幾何的個体数分布における $L^2$ 収束の結果を、一般の臨界個体数分布（有限分散および指数モーメントを有する）に対して、確率的収束への一般化がなされた。