[論文レビュー] On the Cubical Homology Groups of Free Partially Commutative Monoids

Ahmet A. Husainov|ArXiv.org|Nov 1, 2006

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 19被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、自由部分的に可換モノイド $M(E,I)$ のLeechホモロジー群と、前立方体集合 $T(E,I)$ の立方体ホモロジー群の間の同型を確立し、ホモロジーを計算するための有限長のチェーン複体の構成を可能にする。主な結果は、このようなモノイドおよび非同期遷移系のホモロジー次元が、互いに独立な生成子／イベントの最大数に等しくなることを確認しており、Smith標準形を用いたアルゴリズム的計算により、長年の予想が解決された。

ABSTRACT

We study a Leech homology of a locally bounded free partially commutative monoid $M(E,I)$. Given a contravariant natural system of abelian groups $F$ on $M(E,I)$ we build a precubical set $T(E,I)$ with a homological system of abelian groups $\bar{F}$ and prove that the Leech homology groups $H_n(M(E,I),F)$ are isomorphic to the cubical homology groups $H_n(T(E,I),\bar{F})$, $n\geq 0$. As a consequence we have confirmed a conjecture that if the free partially commutative monoid does not contain $>n$ mutually commuting generators, then its the homological dimension $\leq n$. We have built the complexes of finite length for a computation of the Leech homology of such monoids and the Hochschild homology of their monoid rings. The results are applied to the homology of asynchronous transition systems. We give the positive answer to a question that the homological dimension of the asynchronous system does not greater than the maximal number of its mutually independent events. We have built the complex for computing the integral homology groups of an asynchronous transition system by the Smith normal form of integer matrices.

研究の動機と目的

• 自由部分的に可換モノイド $M(E,I)$ のホモロジー次元が、互いに可換な生成子の最大数によって上限付けられるという予想を解決すること。
• ホモロジー群 $H_n(T(E,I), \overline{F})$ が $M(E,I)$ のLeechホモロジー $H_n(M(E,I), F)$ を計算するように、$T(E,I)$ にホモロジカルシステム $\overline{F}$ を構成すること。
• 同型を非同期遷移系に応用し、それらのホモロジー次元が、互いに独立なイベントの最大数によって上限付けられることを証明すること。
• モノイドのホモロジーおよびそのモノイド環のHochschildホモロジーを計算するための有限長チェーン複体を構築すること。Smith標準形によるアルゴリズム的計算を可能にする。

提案手法

• 自由部分的に可換モノイド $M(E,I)$ の生成子と可換関係から、前立方体集合 $T(E,I)$ を構成し、可換積の組合せ的構造を符号化する。
• モノイド $M(E,I)$ 上の反変自然系 $F$ によって誘導される、$T(E,I)$ 上のホモロジカルシステム $\overline{F}$ を定義し、ホモロジカル構造を保存する。
• 圏論的道具およびコロイミットのサティエリの定理（Oberstの定理）を用いて、Leechホモロジー $H_n(M(E,I), F)$ と立方体ホモロジー $H_n(T(E,I), \overline{F})$ の同型を証明する。
• 同型を用いて、境界写像が $e_1 < e_2 < \cdots < e_n$ および $(e_i,e_j) \in I$ を満たすイベント列における交項和で定義される有限長のチェーン複体を構築する。
• 非同期遷移系を $M(E,I)$-集合へ埋め込み、同じ立方体複体を用いてホモロジーを計算する。
• 境界行列 $d_n$ のSmith標準形を用いて、整数ホモロジー群をアルゴリズム的に計算する。有限系に対しては計算可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自由部分的に可換モノイド $M(E,I)$ のホモロジー次元は、互いに可換な生成子の最大数に等しいか？
• RQ2 Leechホモロジー $H_n(M(E,I), F)$ は、前立方体集合 $T(E,I)$ に関連する立方体複体を用いて計算可能か？
• RQ3 非同期遷移系のホモロジー次元は、互いに独立なイベントの最大数によって上限付けられるか？
• RQ4 モノイド環のHochschildホモロジーを計算するための有限長チェーン複体を構築可能か？
• RQ5 非同期遷移系の整数ホモロジー群は、Smith標準形のような行列不変量を用いてアルゴリズム的に計算可能か？

主な発見

• すべての $n \geq 0$ に対して、Leechホモロジー群 $H_n(M(E,I), F)$ と立方体ホモロジー群 $H_n(T(E,I), \overline{F})$ が同型であることが保証され、基礎的な同型が確立された。
• モノイド $M(E,I)$ のホモロジー次元は、互いに可換な生成子の最大数によって上限付けられ、一般（無限生成集合を含む）の場合に対しても予想が確認された。
• 互いに独立なイベントが $n$ 個を超えない非同期遷移系では、次数 $k > n$ においてホモロジーが消えることが示され、[12, Open Problem 2] の予想が証明された。
• $M(E,I)$-集合およびそのモノイド環のHochschildホモロジーを計算するための有限長チェーン複体が構成された。
• 有限非同期遷移系の整数ホモロジー群は、境界行列 $d_n$ のSmith標準形を用いてアルゴリズム的に計算可能である。
• 本構成により、非同期遷移系と前立方体集合の間の函子的ブリッジが提供され、対応するホモロジー群が保存される。