[論文レビュー] On the Davenport-Heilbronn theorems and second order terms

Manjul Bhargava, Arul Shankar+1 more|arXiv (Cornell University)|May 5, 2010

Advanced Algebra and Geometry参考文献 29被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、立方体体のDavenport–Heilbronn定理および二次体の類群における3-torsionに関するRobertsの予想を証明し、明示的な定数を伴う正確な$X^{5/6}$の2次主項を確立する。著者らは、合同条件を満たす二進立方形式の数え上げに新しいアプローチを用い、パワー・セービング誤差項を伴う漸近公式を導出し、代数的数論における古典的数え上げ問題における誤差項の大きさと形について長年の未解決問題を解決する。

ABSTRACT

We give simple proofs of the Davenport--Heilbronn theorems, which provide the main terms in the asymptotics for the number of cubic fields having bounded discriminant and for the number of 3-torsion elements in the class groups of quadratic fields having bounded discriminant. We also establish second main terms for these theorems, thus proving a conjecture of Roberts. Our arguments provide natural interpretations for the various constants appearing in these theorems in terms of local masses of cubic rings.

研究の動機と目的

• 有界判別式を持つ立方体体の数のDavenport–Heilbronn漸近公式における正確な2次項を特定する長年の未解決問題を解消すること。
• 二次体の類群における3-torsionの和について、対応する2次項を確立し、Robertsの予想を確認すること。
• 任意の合同条件を満たす二進立方形式の数え上げに新たな手法を開発し、このような数え上げ問題における2次項の導出を可能にすること。
• 元々のDavenport–Heilbronn定理および二進立方形式の判別式に関するDavenportの定理のより単純で直接的な証明を提供すること。
• 前準同型ベクトル空間上のゼータ関数を用いるのを避けて、Davenport–Shintani定理における2番目の主要項を初等的に導出すること。

提案手法

• 有限個の素数における指定された合同条件を満たす${\rm GL}_2(\bbZ)$-同値類に属する整数係数の非可約二進立方形式を数えるための新手法を導入すること。
• p進積分および二進立方形式の空間上の不変測度を用いて局所的密度を計算し、特に原始的ベクトル上の$|a(f)|_p^{-2/3}$の$p$進積分に注目すること。
• 各素数$p$における局所的密度$ \nu_p(R)$および$ \nu_p^{(2)}(R)$の明示的公式を導出し、それらが各同型類の立方体環の寄与を符号化すること。
• 円周法およびスライシング技術を用いて、立方体体の全球的数え上げをこのような形式の数に関連づけ、指数和の推定により誤差項を制御すること。
• 前準同型ベクトル空間の理論およびゼータ関数を簡略化された、よりアクセスしやすい形で用いて、ShintaniのDavenport–Shintani定理における2番目の主要項を回復すること。
• 数え上げプロセスにおける誤差解析を精緻化することで、$O_\rho(X^{5/6 - 1/48 + \rho})$のパワー・セービング誤差項を確立し、以前の境界を改善すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界判別式を持つ立方体体の数の漸近的数え上げにおける正確な2次項は何か？ これは主項$X/\big(12\theta(3)\big)$を超える。
• RQ2 二次体の類群における3-torsionに関するDavenport–Heilbronn定理における予想された$X^{5/6}$2次項は、厳密に証明可能か？
• RQ3 漸近公式における2次項を保持したまま、所定の合同条件を満たす二進立方形式を数える方法は何か？
• RQ4 有界判別式を持つ二進立方形式の数のDavenport–Shintani定理における正しい2次項は何か？
• RQ5 これらの数え上げ問題における2番目の主要項は、前準同型ベクトル空間上のゼータ関数の完全な道具立てを避けて、初等的な方法で導出可能か？

主な発見

• 判別式が$0 < \text{Disc}(K) < X$である立方体体$K$の数は、漸近的に$\frac{1}{12\zeta(3)}X + \frac{4\zeta(1/3)}{5\Gamma(2/3)^3\zeta(5/3)}X^{5/6} + O_\epsilon(X^{5/6 - 1/48 + \epsilon})$である。
• 判別式が$-X < \text{Disc}(K) < 0$である立方体体の数は、漸近的に$\frac{1}{4\zeta(3)}X + \frac{\sqrt{3} \cdot 4\zeta(1/3)}{5\Gamma(2/3)^3\zeta(5/3)}X^{5/6} + O_\epsilon(X^{5/6 - 1/48 + \epsilon})$である。
• 正の$D < X$における$|\text{Cl}_3(D)|$の和は、$\frac{4}{3} \sum_{0<D<X} 1 + \frac{8\zeta(1/3)}{5\Gamma(2/3)^3} \prod_p \left(1 - \frac{p^{1/3} + 1}{p(p+1)}\right) X^{5/6} + O_\epsilon(X^{5/6 - 1/48 + \epsilon})$である。
• 負の$-X < D < 0$における$|\text{Cl}_3(D)|$の和は、$2 \sum_{-X<D<0} 1 + \frac{\sqrt{3} \cdot 8\zeta(1/3)}{5\Gamma(2/3)^3} \prod_p \left(1 - \frac{p^{1/3} + 1}{p(p+1)}\right) X^{5/6} + O_\epsilon(X^{5/6 - 1/48 + \epsilon})$である。
• 判別式が$0 < \text{Disc}(f) < X$である${\rm GL}_2(\bbZ)$-同値類に属する非可約二進立方形式の数は、$\frac{\pi^2}{72}X + \frac{\sqrt{3}\zeta(2/3)\Gamma(1/3)(2\pi)^{1/3}}{30\Gamma(2/3)}X^{5/6} + O_\epsilon(X^{3/4 + \epsilon})$である。
• p進積分および不変測度を用いた初等的導出により、Davenport–Shintani定理における2番目の主要項が得られ、前準同型ベクトル空間上のゼータ関数の必要性を回避した。