[論文レビュー] On the decay of solutions to a class of defocusing NLS

Nicola Visciglia|ArXiv.org|Nov 12, 2008

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、すべての次元 $ d \geq 1 $ において、収束しない非線形シュレーディンガー方程式（NLS）のグローバル解の $ L^r $-ノルムの崩壊を確立し、$ d \geq 3 $ の場合 $ 2 < r < \frac{2d}{d-2} $、$ d = 1,2 $ の場合 $ 2 < r < \infty $ に対して $ \|u(t,\cdot)\|_{L^r(\mathbb{R}^d)} \to 0 $ が $ t \to \pm\infty $ のとき成り立つことを証明する。この結果は、$ \alpha > \frac{4}{d} $ の制限を外し、Strichartz推移と相互作用Morawetz推移を用いて、エネルギー以下臨界的領域でさえも分散性を示している。

ABSTRACT

We consider the following family of Cauchy problems: {equation*} i\partial_t u= Δu - u|u|^α, (t,x) \in \R imes \R^d {equation*} $$u(0)=φ\in H^1(\R^d)$$ where $0\frac 4d$.

研究の動機と目的

• すべての次元 $ d \geq 1 $ において、$ \alpha \leq \frac{4}{d} $ の場合でも、収束しないNLS方程式のグローバル解の $ L^r $-ノルムの漸近的崩壊を確立すること。これは、かつては崩壊の問題が未解決であった領域である。
• 従来の条件 $ \alpha > \frac{4}{d} $ を必要としていた収束理論を、$ d \geq 3 $ に対して $ 0 < \alpha < \frac{4}{d-2} $、$ d = 1,2 $ に対して $ 0 < \alpha < \infty $ の完全な臨界的範囲で拡張すること。
• Strichartz推移と相互作用Morawetz推移を用いて、$ L^r $-ノルムの崩壊を主要な中間段階として、エネルギー空間 $ H^1(\mathbb{R}^d) $ における新たな収束の証明を提供すること。
• 初期データが $ H^1 $ に属し、$ \alpha \leq \frac{4}{d} $ の場合に、収束しないNLSの解が分散性を示すかどうかという未解決問題を、$ \|u(t,\cdot)\|_{L^r} \to 0 $ が $ t \to \pm\infty $ のとき成り立つことにより解決すること。

提案手法

• 解の $ L^r $-ノルムが $ t \to \pm\infty $ のとき 0 に収束しないと仮定する背理法を用いる。これにより、解が移動する立方体 $ Q_2(x_n) $ 上で $ L^2 $-ノルムが一様に0から離れているような時刻の列 $ t_n \to \infty $ が得られる。
• 変換された解の列 $ \varphi_n(x) = u(t_n, x + x_n) $ を定義する。この列は $ H^1 $ で有界であり、固定された立方体上で正の $ L^2 $-質量を持つ非自明な弱極限 $ \bar{\varphi} \not\equiv 0 $ を持つ。
• NLSフローの弱収束における安定性を用いる。初期値 $ \varphi_n $ から出発する解 $ u_n(t) $ は、$ \bar{\varphi} $ から出発する解 $ \bar{u}(t) $ に弱収束し、ある正の時間区間で $ \|\chi \bar{u}(t)\|_{L^2} $ に下界が保たれる。
• 解の $ L^2 $-ノルムが互いに素な時間区間 $ (t_n, t_n + T_0) $ 上で一様に下界を持つことから、ある種の相互作用Morawetz型積分が発散することを示し、既知の事前推定と矛盾する。$ d \geq 4 $ の場合、$ \int \!\!\!\int \frac{|u(t,x)|^2|u(t,y)|^2}{|x-y|^3} \, dx\,dy\,dt < \infty $ が成り立ち、$ d = 3 $ の場合、$ \|u\|_{L^4_{t,x}} < \infty $ が成り立つ。
• $ d = 1,2 $ の場合、$ \|\psi\|_{L^3}^3 \leq C \left( \sup_x \|\psi\|_{L^2(Q_1(x))} \right) \|\psi\|_{H^1}^2 $ の $ L^3 $-ノルム推定と、既知の事前推定 $ \|u\|_{L^4_t L^8_x} < \infty $（$ d = 2 $）および $ \|u\|_{L^{\alpha+4}_{t,x}} < \infty $（$ d = 1 $）を用いて、仮定された一様な下界から矛盾を導く。
• Strichartz推移と相互作用Morawetz推移を組み合わせ、弱収束と切断関数を用いた質量の局所化とフローに沿った追跡を伴う、濃縮・コンパクトネスの議論を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ \alpha \leq \frac{4}{d} $ の場合、収束しないNLSの解の $ L^r $-ノルムが $ t \to \pm\infty $ のとき崩壊するか。これは、従来の手法では失敗していた領域である。
• RQ2 $ \alpha > \frac{4}{d} $ を仮定しないで、$ H^1 $ における収束理論を $ L^r $-ノルムの崩壊を主要なステップとして証明することによって確立できるか。
• RQ3 $ d \geq 3 $ において、$ r = \frac{2d}{d-2} $ のとき、$ \alpha \leq \frac{4}{d} $ であっても、保存則と分散推移のみを用いて $ L^r $-ノルムの崩壊を証明できるか。
• RQ4 解が正の測度の移動集合に一様に集中するような時刻の列 $ t_n \to \infty $ が存在しないようにする、$ u $ に対する鋭い事前推定は何か。

主な発見

• 初期データ $ \varphi \in H^1(\mathbb{R}^d) $ を持つ収束しないNLS方程式のグローバル解 $ u(t,x) $ について、$ d \geq 3 $ のとき $ 2 < r < \frac{2d}{d-2} $、$ d = 1,2 $ のとき $ 2 < r < \infty $ に対して、$ \lim_{t \to \pm\infty} \|u(t,\cdot)\|_{L^r(\mathbb{R}^d)} = 0 $ が成り立つ。
• $ d = 1 $ の場合、$ L^\infty $-ノルムの崩壊も成り立つ：$ \lim_{t \to \pm\infty} \|u(t,\cdot)\|_{L^\infty(\mathbb{R})} = 0 $。これは $ L^6 $-ノルムの崩壊、$ H^1 $-ノルムの保存、およびGagliardo-Nirenberg不等式の結果である。
• この結果は、$ \alpha \leq \frac{4}{d} $ に対しても成り立つ。これはかつて未解決だったため、$ \alpha > \frac{4}{d} $ の範囲を超えて既知の崩壊結果を拡張している。
• 証明は、$ \frac{4}{d} < \alpha < \frac{4}{d-2} $ のとき、$ H^1(\mathbb{R}^d) $ における収束の新たな証明を提供する。$ L^r $-ノルムの崩壊が、必要なStrichartz推移を示すことを示している。
• $ d \geq 3 $ かつ $ \frac{4}{d} < \alpha < \frac{4}{d-2} $ の場合、より強い結果 $ \lim_{t \to \pm\infty} \|u(t,\cdot)\|_{L^{\frac{2d}{d-2}}(\mathbb{R}^d)} = 0 $ が成り立つ。これは $ L^r $-崩壊、収束性、および自由シュレーディンガー伝搬子の分散推移の組み合わせから導かれる。
• 相互作用Morawetz推移に基づく背理法により、変換された解の非自明な弱極限の存在が排除され、すべての次元において $ L^r $-ノルムの崩壊が証明される。