[論文レビュー] On the deformation of a Barsotti-Tate group over a curve

Jie Xia|arXiv (Cornell University)|Mar 12, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、代数閉体 $k$ の特徴数 $p$ の下で、滑らかでコンパクトな genus $≥q 2$ の曲線 $C$ と、$C$ 上の高さ 2 のBarsotti-Tate群 $G$ の対 $(C, G)$ に対して、持ち上げ基準を確立する。$C$ が $G$ の普遍変形であるとき、著者らは、この対がウィット環 $W(k)$ に一意に持ち上げられることを証明し、これは Mumford 型シムーラ曲線の特徴数 0 への持ち上げを構成するために応用される。

ABSTRACT

In this paper, we study deformations of pairs (C,G) where G is a height 2 BT(or BT_n) group over a complete curve on algebraically closed field k of characteristic p. We prove that, if the curve C is a versal deformation of G, then there exists a unique lifting of the pair to the Witt ring W. We apply this result in the case of Shimura curves to obtain a lifting criterion.

研究の動機と目的

• 曲線 $C$ と高さ 2 の BT 群 $G$ を持つ対 $(C, G)$ がウィット環 $W(k)$ に一意に持ち上げられるための条件を確立すること。
• 正の特徴数から特徴数 0 へ Mumford 型シムーラ曲線を持ち上げるための基準を提供すること。
• BT 群の変形理論をアフィン基底から完全な曲線へ拡張し、グローバル設定における障害を扱うこと。
• Kodaira-Spencer 写像の条件と、$G$ の変形空間としての曲線 $C$ の普遍性との関係を結ぶこと。
• 持ち上げ結果を、形式的ファミリーの代数化に応用し、それが特徴数 0 におけるシムーラ曲線であることを証明すること。

提案手法

• 変形理論におけるコホロロジー的メソッドを用いて、$(C, G)$ を $W_2$ に持ち上げるための障害類を計算する。
• 曲線 $C$ の1次変形を用いて、$W_2$ における障害類を消去し、局所的な持ち上げを保証する。
• 再帰的変形技術を適用して、すべての $n$ に対して対を $W_n$ に持ち上げ、$ℝ\mathrm{Spf}(W)$ 上の形式的スキームを構成する。
• グロテンディークの代数化定理を適用して、形式的スキームを $W$ 上のスキームに代数化する。
• 最大 Higgs フィールド条件と Kodaira-Spencer 同型を活用して、持ち上げられたファミリーがシムーラ曲線であることを保証する。
• シンプレクティック形式の制限による極分類の持ち上げの一意性を活用して、持ち上げられたファミリーが極分類を保つことを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 曲線 $C$ が完全で、$G$ が $C$ 上の高さ 2 の BT 群である対 $(C, G)$ が、ウィット環 $W(k)$ に一意に持ち上げられるための条件は何か？
• RQ2 Kodaira-Spencer 写像の条件は、$G$ の変形空間としての曲線 $C$ の普遍性とどのように関係するか？
• RQ3 最大 Higgs フィールドと特殊な $p$-可除群構造を持つアーベル多様体のファミリーの持ち上げが、$W(k)$ 上のシムーラ曲線に代数化可能か？
• RQ4 極分類の持ち上げの一意性は、$W$ 上の形式的ファミリーの代数化において果たす役割は何か？
• RQ5 BT 群の変形理論をアフィン基底を超えて曲線へ拡張できる範囲はどの程度か？また、その際に生じる障害は何か？

主な発見

• もし $C$ が $G$ の普遍変形であれば、$W(k)$ 上の曲線 $C'$ と $G$ の持ち上げ $G'$ が一意に存在する。
• 持ち上げられた $G'$ は一意に同型を除いて一意であるため、変形プロセスにおける強い剛性が保証される。
• Kodaira-Spencer 写像 $T_C \to t_G \otimes t_{G^*}$ が同型であることは、$C$ が $G$ の普遍変形であることと同値である。
• $C$ が普遍であるとき、$(C, G)$ を $W_2$ に持ち上げるための障害は消えるため、すべての $W_n$ への再帰的持ち上げが可能になる。
• 持ち上げによって得られる $W$ 上のアーベル多様体の形式的ファミリーは代数化可能であり、一般ファイバーは Mumford 型シムーラ曲線である。
• 極分類は持ち上げプロセスの文脈で一意に持ち上げられるため、持ち上げられたファミリーが極分類を保ち、したがって代数化可能であることが保証される。