[論文レビュー] On the deformation quantization of coadjoint orbits of semisimple Lie groups

R. Fioresi, M. A. Lledó|ArXiv.org|Jun 15, 1999

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 21被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、半単純リー群の正則共伴軌道上の多項式関数の座標に依存しない変形量子化を、リー代数の普遍包あらゆる代数を適切なイデアルで商することにより構成する。これにより、変形パラメータ $ h $ に対して解析的に依存する形式的スター積が得られ、その実数化が可能となる。この構成は $ SU(2) $ において幾何学的量子化と一致し、変形された代数は実 $ h $ に対して収束性を示し、これらの軌道上での量子観測可能性の非摂動的実現を提供する。

ABSTRACT

In this paper we consider the problem of deformation quantization of the algebra of polynomial functions on coadjoint orbits of semisimple lie groups. The deformation of an orbit is realized by taking the quotient of the universal enveloping algebra of the Lie algebra of the given Lie group, by a suitable ideal. A comparison with geometric quantization in the case of SU(2) is done where both methods agree.

研究の動機と目的

• 半単純リー群の正則共伴軌道上の多項式関数の代数の変形量子化を構成すること。
• 変形パラメータ $ h $ に対して解析的に依存する形式的スター積を提供し、$ h $ の実数値への特殊化を可能にすること。
• 座標に依存しない枠組みを確立し、対称性を保ち、表現論的解析を可能にすること。
• $ SU(2) $ の場合に幾何学的量子化と整合することを示すこと。この場合、両手法は同等の結果をもたらす。
• Kontsevich のポincare多様体の既知の形式的変形量子化を、特に共伴軌道という部分多様体に制限することで拡張すること。

提案手法

• 変形量子化は、複素半単純リー代数 $ rak{g} $ の普遍包あらゆる代数 $ ext{U}(rak{g}) $ を、$ C - \frac{m}{2}\big(\frac{m}{2} + 1\big)\text{Id} $ で生成される両側イデアルで割ることにより実現される。ここで $ C $ はカシミール作用素である。
• この構成は、$ \\text{U}(\frak{g}) $ が $ \frak{g}^* $ 上の多項式代数の変形量子化であることに基づき、正則軌道に対応する最大イデアルで割ることにより共伴軌道に制限する。
• 生成子に対して $ \tilde{X} = \bar{h}X $, $ \tilde{Y} = \bar{h}Y $, $ \tilde{H} = \bar{h}H $, $ \tilde{D} = \bar{h}D $ のスケーリングを施し、形式的変形を物理的パラメータ $ \bar{h} $ に結びつける。これにより、$ h $ の実数値への特殊化が可能となる。
• スター積が $ h $ に関して解析的であることが示され、射影写像 $ p $ の単射性とフィルター代数における次数解析を用いて、多項式関数上の変形積の収束性が確立される。
• 任意の順序付けの選択を避けるために、代数的商の構成によりスター積を直接構成し、軌道上に一連のスター積を生成する。
• 実および複素軌道の対応関係を用いて、コンパクトな半単純群へと枠組みを拡張し、群作用に関して不変であることが示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 半単純リー群の共伴軌道上の多項式関数の変形量子化は、座標に依存しない形で構成可能か？
• RQ2 普遍包あらゆる代数を商することによる変形量子化は、変形パラメータ $ h $ に対して解析的に依存するスター積をもたらし、$ h $ の実数値への特殊化を可能にするか？
• RQ3 この構成は、特に $ SU(2) $ の場合に幾何学的量子化とどのように比較できるか？
• RQ4 得られた変形された代数は、ヒルベルト空間上の断面の微分作用素の代数として実現可能か、特に $ SU(2) $ および $ SL(2, \bbC) $ の場合に？
• RQ5 カシミール作用素は、正しい軌道代数を得るために普遍包あらゆる代数を商うイデアルを定義する役割を果たすか？

主な発見

• 普遍包あらゆる代数 $ \text{U}(\frak{g}) $ をイデアル $ (C - \frac{m}{2}(\frac{m}{2} + 1)\text{Id}) $ で割ることにより、正則共伴軌道上の多項式関数の代数の変形量子化が得られる。
• 得られたスター積は変形パラメータ $ h $ に対して解析的に依存し、多項式関数上の変形積は収束する。
• $ SU(2) $ の場合、この構成は幾何学的量子化と一致し、変形された代数は、軌道上の線束の正則断面空間上の微分作用素の代数と同型である。
• この方法により、順序付けの選択を必要とせず、商の内在的な代数的構造のおかげで、軌道上に一連のスター積が得られる。
• この構成は群作用に関して不変であり、共伴軌道のシンプレクティック構造を尊重するため、量子観測可能性の自然な表現論が可能になる。
• 整数 $ m $ に対して、代数 $ \text{U}/(C - \frac{m}{2}(\frac{m}{2} + 1)\text{Id}) $ が $ \text{D}_m $、すなわち軌道上の微分作用素の代数と同型であることが示された。