[論文レビュー] On the deformations of canonical double covers of minimal rational surfaces

Francisco Javier Gallego, Miguel González+1 more|arXiv (Cornell University)|May 28, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、非常に豊かな線形系列による埋め込みを伴う最小有理表面（例えば、$\mathbf{P}^2$、$\mathbf{F}_e$）の canonical double cover の変形理論を調査する。無限小コホモロジー的基準を用いて、canonical 写像の任意の変形が常に次数 2 のまま保たれることを証明し、不変量が Castelnuovo 線上またはそれ above に位置する場合でさえ、このような表面のモジュライ成分が、2次被覆のみをパラメータ化することを保証する。これにより、モジュライ挙動における曖昧さが解消され、これらの表面に canonical に埋め込まれた多重構造が存在しないことが確立される。

ABSTRACT

The purpose of this article is to study the deformations of smooth surfaces $X$ of general type whose canonical map is a finite, degree 2 morphism onto a minimal rational surface or onto $\mathbf F_1$, embedded in projective space by a very ample complete linear series. Among other things, we prove that any deformation of the canonical morphism of such surfaces $X$ is again a morphism of degree 2. A priori, this is not at all obvious, for the invariants $(p_g(X),c_1^2(X))$ of most of these surfaces lie on or above the Castelnuovo line; thus, in principle, a deformation of such $X$ could have a birational canonical map. We also map the region of the geography of surfaces of general type corresponding to the invariants of the surfaces $X$ and we compute the dimension of the irreducible moduli component containing $[X]$. In certain cases we exhibit some interesting moduli components parametrizing surfaces $S$ whose canonical map has different behavior but whose invariants are the same as the invariants of $X$. One of the interests of the article is that we prove the results about moduli spaces employing crucially techniques on deformation of morphisms. The key point or our arguments is the use of a criterion that requires only infinitesimal, cohomological information of the canonical morphism of $X$. As a by-product, we also prove the non-existence of "canonically" embedded multiple structures on minimal rational surfaces and on $\mathbf F_1$.

研究の動機と目的

• 一般型の表面が最小有理表面の 2重被覆である場合の canonical 写像の変形挙動を理解すること。
• 不変量が Castelnuovo 線上またはそれ above に位置する場合、このような表面が双有理 canonical 写像を持つように変形可能かどうかの曖昧さを解消すること。
• このような表面を含む既約モジュライ成分の次元を計算し、異なる canonical 写像挙動を示す異なる成分を特定すること。
• $\mathbf{P}^2$ および Hirzebruch 表面 $\mathbf{F}_e$ に canonical に埋め込まれた多重構造が存在しないことを証明すること。
• これらの canonical double cover がカバーする不変量の地理的領域を特定し、双有理 canonical 写像を持つ表面のモジュライ成分と比較すること。

提案手法

• 変形の制御のため、特に $\operatorname{Hom}(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2, \omega_Y(-1))$ の消滅に基づく無限小コホモロジー的基準を用いる。
• 写像の変形理論を適用し、不変量が Castelnuovo 線 above に位置する場合でさえ、2次性が保たれることを示す。
• $\mathbf{P}^2$ および $\mathbf{F}_e$ 上の基点自由な分岐除集合を用いた canonical double cover の構成により、明示的な例を生成する。
• adjunction およびコホモロジー的道具を用いて、公式 $\dim \mathcal{M} = \chi(N_X) = \chi(\omega_X^{-1}) + \chi(\omega_X)$ を用いてモジュライ次元を計算する。
• [GGP10] および [AK90] の結果に依拠し、双有理 canonical 写像を持つ既知の表面と比較し、異なるモジュライ成分を同定する。
• $y = 6\frac{m-3}{m-2}x' - (m-3)(m+3)$ という式を用いて、異なる表面族間の共通不変量を特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不変量が Castelnuovo 線上またはそれ above に位置する有理表面の canonical double cover が、双有理 canonical 写像を持つ表面に変形可能か？
• RQ2 不変量がそれらの位置にある場合でさえ、canonical 写像の 2 次性が変形下でも保たれるか？
• RQ3 $\mathbf{P}^2$ や $\mathbf{F}_e$ に canonical に埋め込まれた多重構造が存在するか？
• RQ4 同じ不変量に対して、2 次 canonical 写像を持つ表面のモジュライ成分と、双有理 canonical 写像を持つ表面のモジュライ成分はどのように比較できるか？
• RQ5 canonical double cover である有理表面のモジュライ成分の次元は何か？

主な発見

• 基点自由な分岐除集合を持つ $\mathbf{P}^2$ や $\mathbf{F}_e$ の canonical double cover である表面 $X$ の canonical 写像の任意の変形は、常に次数 2 の有限写像のまま保たれる。
• 不変量が Castelnuovo 線上またはそれ above に位置する場合でさえ、$[X]$ を含むモジュライ成分は、2 次 canonical 写像を持つ表面のみをパラメータ化する。
• $(p_g, c_1^2) = (39, 110)$ の不変量に対して、モジュライ空間 $\mathcal{M}_{(39,0,110)}$ には少なくとも 2 つの異なる成分が存在する：1 つは双有理 canonical 写像をもち、もう 1 つは 2 次写像をもつ。
• $(p_g, c_1^2) = (45, 128)$ の不変量に対して、モジュライ空間 $\mathcal{M}_{(45,0,110)}$ には少なくとも 3 つの成分が存在し、そのうち 2 つは $\mathbf{P}^2$ および $\mathbf{F}_0$ の被覆から生じる 2 次 canonical 写像をもつ。
• $\mathbf{F}_0$ を $|4C_0 + 8f|$ を通じて被覆する 2 重被覆のモジュライ成分の次元は 266 であり、$\mathbf{P}^2$ を八次曲線を通じて被覆する場合の次元は 267 であるため、異なる成分が存在することが示される。
• $\mathbf{P}^2$ や $\mathbf{F}_e$ に canonical に埋め込まれた多重構造は存在せず、これは $\operatorname{Hom}(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2, \omega_Y(-1))$ の消滅によって示される。