[論文レビュー] On the degenerated Arnold-Givental conjecture

Guangcun Lu|arXiv (Cornell University)|Jun 1, 2008

Geometric and Algebraic Topology参考文献 19被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、実シンプレクティック多様体上の1周期的ハミルトニアン系の対称的周期的軌道（ブレーキ軌道）の数と、ラグランジュ部分多様体とそのハミルトニアン像の交点数の間の同値性を確立する。ホーファーの手法と有理性指数条件を用いて、ホーファーノルムが小さいハミルトニアンに対して、そのような軌道の数が実部分 $L$ の ${\mathbb{Z}}_2$-カップ長さによって下から抑えられることを示し、退化した状況におけるアーノルド＝ギヴェンタル予想を拡張する。

ABSTRACT

We present another view dealing with the Arnold-Givental conjecture on a real symplectic manifold $(M, ω, τ)$ with nonempty and compact real part $L={ m Fix}(τ)$. For given $Λ\in (0, +\infty]$ and $m\in\N\cup\{0\}$ we show the equivalence of the following two claims: (i) $\sharp(L\capϕ^H_1(L))\ge m$ for any Hamiltonian function $H\in C_0^\infty([0, 1] imes M)$ with Hofer's norm $\|H\|0$ or $r_ω=+\infty$. Using Hofer's method we prove that if the Hamiltonian $H$ in (ii) above has Hofer's norm $\|H\|

研究の動機と目的

• ラグランジュ部分多様体とそのハミルトニアン像の横断的交点数と、1周期的ハミルトニアン系の対称的周期的軌道（ブレーキ軌道）の数の間の対応関係を確立すること。
• ホーファーノルムが小さい場合の退化した状況において、アーノルド＝ギヴェンタル予想を拡張すること。
• 有理性指数条件の下で、可縮なブレーキ軌道の数が実部分 $L$ の ${\mathbb{Z}}_2$-カップ長さによって下から抑えられることを示し、$L$ が可縮可能であれば ${\mathbb{Z}}$-カップ長さによっても抑えられることを示すこと。
• ハミルトニアンとラグランジュのフローリングホモロジーの間を補間する実フローリングホモロジー理論の基礎を築くこと。

提案手法

• 反シンプレクティック自己同型 $\tau$ に対して $H(t,x) = H(-t,\tau(x))$ を満たす対称的かつ1周期的なハミルトニアン $H$ を導入し、時間反転対称性を保証する。
• $x(-t) = \tau(x(t))$ を満たす1周期的解の集合 $\mathcal{P}(H,\tau)$ を定義し、これをブレーキ軌道と呼ぶ。
• シンプレクティック多様体の有理性指数 $r_\omega$ を用いて、ホーファーの手法によりそのような軌道の数を推定する。
• $J \in \mathbb{R}\mathcal{J}(M,\omega)$ に関する $M$ の幾何的有界性を用いて、偽正則曲線を制御し、フローリング的不変量が消えないことを保証する。
• 次の2つの主張の同値性を確立する：(i) $\|H\| < \Lambda$ のとき $\sharp(L \cap \phi^H_1(L)) \geq m$ であり、(ii) $\|H\| < 2\Lambda$ のとき $\sharp\mathcal{P}(H,\tau) \geq m$ である。任意の $m \in \mathbb{N} \cup \{0\}$ に対して成り立つ。
• フローリング的技法を用いてカップ長さの下界を示し、$\|H\| < r_\omega$ のとき $\sharp\mathcal{P}_0(H,\tau) \geq \text{Cuplength}_{\mathbb{F}}(L)$ を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ラグランジュ部分多様体とそのハミルトニアン像の交点数が、1周期的ハミルトニアン系の対称的周期的軌道（ブレーキ軌道）の数に等しくなる条件は何か？
• RQ2 ホーファーノルムが有理性指数 $r_\omega$ で抑えられる場合、アーノルド＝ギヴェンタル予想を退化した状況に拡張できるか？
• RQ3 実部分 $L = \text{Fix}(\tau)$ の位相的複雑性（カップ長さで測る）と、可縮なブレーキ軌道の数の間にはどのような関係があるか？
• RQ4 有理性指数 $r_\omega$ は、実シンプレクティック多様体上の対称的ハミルトニアン系における非自明解の存在をどのように制御するか？
• RQ5 ブレーキ軌道のみを用いて実フローリングホモロジー理論を構成できるか？また、その理論は $L$ のホモロジーとどのように関係するか？

主な発見

• 任意の $m \in \mathbb{N} \cup \{0\}$ に対して、$\|H\| < \Lambda$ のすべてのハミルトニアン $H$ に対して $\sharp(L \cap \phi^H_1(L)) \geq m$ が成り立つことと、$\|H\| < 2\Lambda$ のすべての $H$ に対して $\sharp\mathcal{P}(H,\tau) \geq m$ が成り立つことは、必要十分である。これは交点数と軌道数の間の正確な双対性を確立する。
• $\|H\| < r_\omega$ のとき、可縮なブレーキ軌道の数は $\sharp\mathcal{P}_0(H,\tau) \geq \text{Cuplength}_{\mathbb{Z}_2}(L)$ を満たし、可縮可能である場合には $\sharp\mathcal{P}_0(H,\tau) \geq \text{Cuplength}_{\mathbb{Z}}(L)$ が成り立つ。
• $M$ が幾何的に有界で、$r_\omega > 0$ または $r_\omega = +\infty$ であり、$\tau^*J = -J$ を満たす $J \in \mathbb{R}\mathcal{J}(M,\omega)$ が存在するとき、$\|H\| < r_\omega$ のとき $\sharp\mathcal{P}_0(H,\tau) \geq \text{Cuplength}_{\mathbb{Z}_2}(L)$ が成り立つ。
• 具体的な例として、$K3$-表面や $d \geq 2n$ が奇数または $d=1$ であるような $M_{n,d} \subset \mathbb{C}P^n$ の超曲面が挙げられ、$J$ が一般的であれば $m(M_{n,d}, \omega_{n,d}, J) = +\infty$ となるため、$\|H\|$ が小さいとき無限個のこのような軌道が存在することが示される。
• 有理性指数 $r_\omega$ は閾値として機能する：$r_\omega$ より小さい範囲では、対称的周期的軌道の数が実部分 $L$ の位相的複雑性によって下から抑えられ、既知の半正および負単調多様体の結果を一般化する。
• 著者らは、定理1.3における制約 $\|H\| < \pi$ がフォーチュンの手法を用いることで取り除けるかもしれないと予想しており、この境界がより一般に成り立つ可能性を示唆している。