[論文レビュー] On the degree of the polynomial defining a planar algebraic curves of constant width

Magali Bardet, Térence Bayen|arXiv (Cornell University)|Dec 16, 2013

Point processes and geometric inequalities参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、非円形の定幅平面曲線を定義する多項式の最小次数を特定することで、凸幾何学における長年の未解決問題を解決する。代数幾何学と消去理論を用いて、次数 $N$ の三角多項式でパラメータ化されるような曲線の定義多項式が、すべての係数が奇数の場合は全次数 $N+1$、それ以外の場合は $2N+2$ であることを証明する。主な結果として、Rabinowitzの予想である「このような曲線を8未満の次数の多項式では定義できない」という予想が裏付けられる。

ABSTRACT

In this paper, we consider a family of closed planar algebraic curves $\mathcal{C}$ which are given in parametrization form via a trigonometric polynomial $p$. When $\mathcal{C}$ is the boundary of a compact convex set, the polynomial $p$ represents the support function of this set. Our aim is to examine properties of the degree of the defining polynomial of this family of curves in terms of the degree of $p$. Thanks to the theory of elimination, we compute the total degree and the partial degrees of this polynomial, and we solve in addition a question raised by Rabinowitz in \cite{Rabi} on the lowest degree polynomial whose graph is a non-circular curve of constant width. Computations of partial degrees of the defining polynomial of algebraic surfaces of constant width are also provided in the same way.

研究の動機と目的

• 非円形の定幅平面曲線を定義する多項式の最小次数を特定すること。
• Rabinowitz（1994年）が提起した、このような定義多項式の最小可能な次数に関する問題を解決すること。
• 定幅曲線を定義する暗黙的多項式の全次数および部分次数の正確な公式を確立すること。
• 球面調和関数と暗黙的表現技術を用いて、3次元における定幅代数的曲面への分析を拡張すること。

提案手法

• 凸体の支持関数を表す次数 $N$ の三角多項式 $p(\theta)$ を用いて、定幅平面曲線をパラメータ化する。
• 結果式とベズウト行列を用いた暗黙的表現理論を適用し、曲線の定義多項式 $f(x,y)$ を計算する。
• Weierstrass置換 $t = \tan(\theta/2)$ を用いた有理関数への変換により、三角関数の式を有理関数に変換する。
• パラメータ化が曲線を1回または2回走査する回数を分析し、暗黙的多項式の次数を特定する。
• 消去理論と結果式計算を用いて、定義多項式の正確な全次数および部分次数を導出する。
• 3次元における球面調和関数で定義される代数的曲面に対しても同様の手法を適用し、Mapleを用いた記号計算により部分次数を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非円形の定幅平面曲線を定義する実多項式の最小全次数は何か？
• RQ2 定幅曲線の支持関数である三角多項式の次数および係数の偶奇性が、定義多項式の次数にどのように影響するか？
• RQ3 消去理論を用いて、定幅曲線の暗黙的表現を体系的かつ計算可能に得ることは可能か？
• RQ4 $\mathbb{R}^3$ における定幅代数的曲面の定義多項式の部分次数は何か？
• RQ5 Rabinowitzの最小次数に関する予想を、高次元における定幅曲面へ一般化することは可能か？

主な発見

• 次数 $N \geq 2$ の三角多項式 $p$ がすべて奇数次の係数を持つ場合、定幅平面代数的曲線の定義多項式 $f(x,y)$ の全次数は $N+1$ である。
• もし $p$ に偶数次の非ゼロ係数が存在する場合、$f$ の全次数は $2N+2$ である。
• これは、非円形の定幅曲線が8未満の次数の多項式では定義できないことを証明し、Rabinowitzの予想を裏付ける。
• 特に $N=3$ の場合、最小次数は8であり、Rabinowitzの構成と一致し、これが最適であることが示される。
• 本手法により、Mapleを用いた記号計算により、3次元における定幅代数的曲面の定義多項式の部分次数を計算可能となる。
• このような曲面に対して直接Gröbner基底を計算すると、合理的な時間内に収束しないが、結果式に基づく手法は成功し、部分次数の解析が可能となる。