[論文レビュー] On the Derivative Imbalance and Ambiguity of Functions

Shihui Fu, Xiutao Feng+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 21, 2017

Coding theory and cryptography参考文献 22被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、有限アーベル群間の関数における微分の不均衡と曖昧性を統一的に分析するフレームワークを確立し、CarletとDingが導入した微分の不均衡パラメータ $NB_F$ と曖昧性が等価であることを証明する。著者らは $NB_F$ の新たな下界を導出し、特に $ Rubio^n $ 上のべき関数に対して非線形性および微分均一性との関連を明らかにし、既存の境界を改善する。特に、特定の状況下では $NB_F \geq 6$ または $8$ であることを示している。

ABSTRACT

In 2007, Carlet and Ding introduced two parameters, denoted by $Nb_F$ and $NB_F$, quantifying respectively the balancedness of general functions $F$ between finite Abelian groups and the (global) balancedness of their derivatives $D_a F(x)=F(x+a)-F(x)$, $a\\in G\\setminus\\{0\\}$ (providing an indicator of the nonlinearity of the functions). These authors studied the properties and cryptographic significance of these two measures. They provided for S-boxes inequalities relating the nonlinearity $\\mathcal{NL}(F)$ to $NB_F$, and obtained in particular an upper bound on the nonlinearity which unifies Sidelnikov-Chabaud-Vaudenay's bound and the covering radius bound. At the Workshop WCC 2009 and in its postproceedings in 2011, a further study of these parameters was made; in particular, the first parameter was applied to the functions $F+L$ where $L$ is affine, providing more nonlinearity parameters. In 2010, motivated by the study of Costas arrays, two parameters called ambiguity and deficiency were introduced by Panario \\emph{et al.} for permutations over finite Abelian groups to measure the injectivity and surjectivity of the derivatives respectively. These authors also studied some fundamental properties and cryptographic significance of these two measures. Further studies followed without that the second pair of parameters be compared to the first one. In the present paper, we observe that ambiguity is the same parameter as $NB_F$, up to additive and multiplicative constants (i.e. up to rescaling). We make the necessary work of comparison and unification of the results on $NB_F$, respectively on ambiguity, which have been obtained in the five papers devoted to these parameters. We generalize some known results to any Abelian groups and we more importantly derive many new results on these parameters.

研究の動機と目的

• 微分の不均衡 ($NB_F$) と曖昧性という2つの暗号的パラメータを統一し、比較すること。これらはこれまで別々に研究されてきた。
• 既知の $NB_F$ および曖昧性に関する結果を、任意の有限アーベル群へ一般化すること。
• 非線形性および微分均一性との関連を考慮して、$NB_F$ の新たな下界を導出すること。
• $NB_F$、曖昧性、および高階微分または自己相関関数との関係を調査すること。
• 特に $n$ が奇数または $n/2 < m < n$ の場合に、$ Rubio^n $ 上のべき関数に対する $NB_F$ の既存の下界を改善すること。

提案手法

• 著者らは、すべての非ゼロ微分 $D_aF$ における前像サイズの分散の和として微分の不均衡 $NB_F$ を定義し、それを分析する。
• 曖昧性が従来コストス・アレイ理論で研究されてきたが、著者らはそれが $NB_F$ とスケーリングを除いて等価であることを証明し、これまで別個に研究されてきた2つの研究分野を統合する。
• フーリエ解析を用いて、$F$ のフーリエ変換の4次モーメントを用いた $NB_F$ の特徴づけを導出する。
• $ Rubio^n $ 上のべき関数 $F(x) = x^d$ に対して、$D_1F$ の前像のサイズを用いて $NB_F$ を明示的に計算し、閉形式の表現を得る。
• これらの結果を応用して、$NB_F \geq 6$ または $8$ といった新たな下界を導出し、特に $n$ が奇数で $m < n$、または $n$ が偶数で $n/2 < m < n$ の場合に、既存の $NB_F \geq 2$ の境界を改善する。
• 2階微分および自己相関関数を分析することで、$NB_F$ と関数の挙動との間のより深い構造的関係を探索する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コストス・アレイ理論で用いられる曖昧性パラメータは、CarletとDingが導入した微分の不均衡 $NB_F$ と等価であるか？
• RQ2 非線形性および微分均一性の観点から、$NB_F$ の最もタイトな下界は何か？
• RQ3 一般の有限アーベル群間の関数に対して、フーリエ変換の4次モーメントを用いて $NB_F$ をどのように特徴づけられるか？
• RQ4 $ Rubio^n $ 上のべき関数に対して $NB_F$ の明示的な値は何か？ また、それらは指数 $d$ や体のパラメータにどのように依存するか？
• RQ5 $NB_F > 2^{n-m+2}(2^{n/2}+1)(2^m-1)$ という境界を証明することで、非線形性のカバー半径境界を改善できるか？

主な発見

• 曖昧性と $NB_F$ はスケーリングを除いて等価であり、関数解析におけるこれまで別個に研究されてきた2つの研究分野が統合された。
• $ Rubio^n $ 上のべき関数 $F(x) = x^d$ に対して、著者らは正確な式 $NB_F = 2^n(2^n - 1)(|D_1F^{-1}(1)| - 1) - 2^{2n - m}(2^n - 1)$ を導出する。
• 関数 $F$ が二次関数である場合、例えば $x^{2^i + 2^j}$ の場合、境界は $NB_F = 2^n(2^n - 1)(2^s - 1)$ に簡略化され、ここで $s = \gcd(i-j, n)$ である。
• 本稿では、$NB_F$ の下界を $2$ から $6$ または $8$ に改善しており、特に $n$ が奇数で $m < n$、または $n$ が偶数で $n/2 < m < n$ の場合に顕著である。
• 著者らは、これらの条件下で $NB_F \geq 6$ または $8$ を示し、従来の $NB_F \geq 2$ の境界に比べて顕著な改善を達成した。
• 本稿では、$NB_F$ とフーリエ変換の4次モーメントとの関係を確立し、非線形性を分析するための新たな解析的ツールを提供した。