[論文レビュー] On the derived functor analogy in the Cuntz-Quillen framework for cyclic homology

Guillermo Cortiñas⋆|arXiv (Cornell University)|Jan 31, 2000

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 7被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、Cuntz-Quillenの枠組みにおける循環ホモロジーの導来函手類似を形式化し、無限小変形のクラスにおける可算プロ代数の圏の局所化を構成することで、特性が0のとき、周期的循環ホモロジーがde Rhamコホモロジーの導来函手として現れることを証明する。さらに、有理数係数K理論の導来函手が、負の循環ホモロジーへのチャーン類写像のファイバーとして計算されることを示す。

ABSTRACT

Cuntz and Quillen have shown that for algebras over a field $k$ with $char(k)=0$, periodic cyclic homology may be regarded, in some sense, as the derived functor of (non-commutative) de Rham (co-)homology. The purpose of this paper is to formalize this derived functor analogy. We show that the localization ${Def}^{-1}\Cal{PA}$ of the category $\Cal{PA}$ of countable pro-algebras at the class of (infinitesimal) deformations exists (in any characteristic) (Theorem 3.2) and that, in characteristic zero, periodic cyclic homology is the derived functor of de Rham cohomology with respect to this localization (Corollary 5.4). We also compute the derived functor of rational $K$-theory for algebras over $\Bbb Q$, which we show is essentially the fiber of the Chern character to negative cyclic homology (Theorem 6.2).

研究の動機と目的

• CuntzとQuillenが提唱した周期的循環ホモロジーとde Rhamコホモロジーの間の導来函手類似を形式化すること。
• 任意の特性において、無限小変形のクラスにおける可算プロ代数の圏の局所化 $\mathrm{Def}^{-1}\mathcal{PA}$ の存在を確立すること。
• 特性が0のとき、周期的循環ホモロジーがこの局所化に関してde Rhamコホモロジーの導来函手であることを示すこと。
• 体 $\mathbb{Q}$ 上の代数に対する有理数K理論の導来函手を計算し、それが負の循環ホモロジーへのチャーン類写像のファイバーとして同定されることを示すこと。
• nil-ホモトピー同値とその非可換代数的幾何におけるホモトピー的構造のモデル化における役割を導入・分析すること。

提案手法

• 可算プロ代数の圏 $\mathcal{PA}$ における (無限小の) 変形のクラスでの局所化 $\mathrm{Def}^{-1}\mathcal{PA}$ を構成し、モデルに類似した構造を用いてその存在を証明する。
• プロ代数準同型間の強いおよび弱い nil-ホモトピー同値を導入し、モデル圏における弱同値に類似した性質を持つ。
• $\mathrm{Def}^{-1}\mathcal{PA}$ が弱 nil-ホモトピー同値での局所化と同型であり、また準自由プロ代数の強い nil-ホモトピー同値での局所化と同値であることを示す。
• プロパワー級数拡張に関して不変であるような函手 $\mathcal{PA} \to \mathcal{C}$ を Poincaré函手と定義し、左導来函手の存在を保証する。
• プロ代数における $X$-複体構成を用いてホモロジー群を計算し、特にパワー・プロ代数 $P_A(V)$ に対してホモトピー同値を確立する。
• $\varprojlim^1$ の共終性定理を用いて、負の循環ホモロジー空間 $SN(f)$ のホモトピー群を計算し、それがEilenberg-MacLane空間であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特性0における周期的循環ホモロジーとde Rhamコホモロジーの間の直感的な導来函手類似を形式的に確立できるか？
• RQ2 任意の特性において、可算プロ代数の圏の無限小変形のクラスでの局所化 $\mathrm{Def}^{-1}\mathcal{PA}$ は存在するか？
• RQ3 このモデル圏でない設定において左導来函手の存在を保証する条件は何か？
• RQ4 有理数 $K$-理論の導来函手は負の循環ホモロジーとどのように関係しているか？
• RQ5 射影 $P_A(V) \to A$ に対する負の循環ホモロジー空間 $SN(f)$ のホモトピー型は何か？

主な発見

• 任意の特性において、可算プロ代数の圏における無限小変形のクラスでの局所化 $\mathrm{Def}^{-1}\mathcal{PA}$ が存在する。これは定理3.2で確立された。
• 特性が0のとき、周期的循環ホモロジーは局所化 $\mathrm{Def}^{-1}\mathcal{PA}$ に関して de Rham コホモロジーの導来函手である。これは補題5.4で示された。
• 体 $\mathbb{Q}$ 上の代数に対する有理数 $K$-理論の導来函手は、負の循環ホモロジーへのチャーン類写像のファイバーと同型である。これは定理6.2で述べられている。
• 準自由代数 $A$ とベクトル空間 $V$ に対して、射影 $f: P_A(V) \to A$ の負の循環ホモロジー空間 $SN(f)$ は、$\Upsilon(A,V)$ が明示的な同 invariant 空間のアーベル群であるとき、Eilenberg-MacLane空間 $E(\Upsilon(A,V),1)$ に同型である。
• $\varprojlim^1$ 項が、プロシステムにおける構造写像の上への性質により消えるため、$n \geq 2$ に対して $\pi_n(SN(f)) \cong \varprojlim H_n(f_i)$ が成り立つ。
• 函手 $A \mapsto SN^\prime(A)$ は Poincaré であり、その左導来函手はホモトピー的に零である（補題6.9で示された）。一方、$A \mapsto SN(A)$ は Poincaré ではない。