[論文レビュー] The resolvent cocycle in twisted cyclic cohomology and a local index formula for the Podles sphere

Adam Rennie, Roger Senior|arXiv (Cornell University)|Nov 24, 2011

Advanced Operator Algebra Research参考文献 18被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、従来の研究よりも弱い滑らかさ条件の下で、 twisted resolvent cocycle を用いた twisted cyclic cohomology 内の PodleÅs 球面の局所的インデックス公式を確立する。有限和可能性の modular spectral triple に対して、resolvent cocycle の存在および連続性を証明し、得られる twisted Hochschild class が次元 2 で消えないことを示し、非自明なインデックスペアリングをもたらす。$ q \to 1 $ の極限では、期待される位相的インデックスが回復される。主な貢献は、$ q $-deformed 幾何におけるインデックス理論の統一的枠組みを提供し、逆モジュラー自己同型によるねじれを用いることで次元の低下問題を解決することにある。

ABSTRACT

We continue the investigation of twisted homology theories in the context of dimension drop phenomena. This work unifies previous equivariant index calculations in twisted cyclic cohomology. We do this by proving the existence of the resolvent cocycle, a finitely summable analogue of the JLO cocycle, under weaker smoothness hypotheses and in the more general setting of `modular' spectral triples. As an application we show that using our twisted resolvent cocycle, we can obtain a local index formula for the Podles sphere. The resulting twisted cyclic cocycle has non-vanishing Hochschild class which is in dimension 2.

研究の動機と目的

• 従来の擬微分作用素の計算に依存しない、弱い滑らかさ条件の下での modular spectral triple における resolvent cocycle の構成を一般化すること。
• 有限和可能性および弱い滑らかさの設定下で、resolvent cocycle が等変 K-理論との数値的インデックスペアリングを計算できることを示すこと。
• 標準的なモジュラー自己同型ではなく、逆モジュラー自己同型を用いることで、$ q $-deformed 幾何における次元の低下問題を解決すること。
• 複数の先行研究の結果を統合する twisted cyclic cohomology 内の PodleÅs 球面の局所的インデックス公式を導出すること。
• 残留コサイクルの 2 次元項がコ boundary でないことを示し、Hochschild class の非自明性を証明すること。

提案手法

• 周期的モジュラー自己同型群を用いた、歪み付きトレース（重み）を備えた半有限スペクトル三つ組の一般化として、modular spectral triple を導入する。
• 擬微分作用素の完全な計算を要しない、resolvent cocycle の構成を可能にする、スペクトル三つ組における弱い滑らかさ条件を定義する。
• JLO コサイクルの有限和可能性版としての resolvent cocycle を構成し、これらの弱い滑らかさ仮定の下でその存在および連続性を証明する。
• 文献 [KNR] の結果を用いて、resolvent cocycle が $ K $-理論値のインデックスを、数値的インデックスペアリングと整合的に計算できることを示す。
• スペクトル三つ組が弱い滑らかさおよび和可能性条件を満たす 2 次元の modular spectral triple であることを確認することで、PodleÅs 球面にこの枠組みを適用する。
• Neshveyev と Tuset の修正された擬微分作用素の計算を活用し、resolvent cocycle を用いて明示的なインデックスペアリングを計算し、完全な局所的インデックス公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 従来の要請よりも弱い滑らかさ条件の下で、擬微分作用素の計算に依存せずに、modular spectral triple 内に resolvent cocycle を構成できるか？
• RQ2 twisted cyclic cohomology 内の twisted resolvent cocycle は、PodleÅs 球面に対して非自明なインデックスペアリングをもたらし、次元 2 における Hochschild class が消えないか？
• RQ3 なぜモジュラー自己同型の逆を用いることで、通常のモジュラー自己同型が引き起こす twisted Hochschild homology 内の次元の低下問題を回避できるのか？
• RQ4 entire cyclic cohomology の文脈において、resolvent cocycle と JLO コサイクルの関係は何か？ そして、局所的インデックス公式にどのような意味を持つのか？
• RQ5 PodleÅs 球面におけるインデックスペアリングの古典的極限 $ q \to 1 $ は何か？ そして、期待される位相的インデックスが回復されるか？

主な発見

• 弱い滑らかさ条件の下で、擬微分作用素の計算を要せず、有限和可能性の modular spectral triple に対して、resolvent cocycle が存在し、連続的であり、数値的インデックスを計算することが可能である。
• resolvent cocycle は、等変 $ K $-理論と非自明にペアリングする twisted cyclic コサイクルを定義し、well-defined なインデックス問題をもたらす。
• PodleÅs 球面に対して、残留コサイクルの 2 次元項の Hochschild class は非自明であり、0-コサイクルとコhomologous でないことを示すことで証明された。
• 射影 $ P_{N/2} $ に対するインデックスペアリングは明示的に $ \mathrm{Ind} = q^{-|N|}[N]_q $ と与えられ、$ q \to 1 $ の極限で $ N $ に収束し、古典的インデックスが回復される。
• 逆モジュラー自己同型の使用により、次元の低下問題が回避される：標準的なモジュラー自己同型では次元 2 で Hochschild class が自明になるが、逆を用いることで非自明なクラスが得られる。
• 明示的計算により、コサイクルの 2 次元部分がコ boundary でないことが確認された。その結果、インデックスペアリングは非ゼロであり、既存の文献における結果と一致する。