[論文レビュー] On the diagonals of a Rees algebra

Olga Lavila-Vidal|ArXiv.org|Jul 3, 2004

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 49被引用数 9

ひとこと要約

本博士論文は、射影的代数的多様体の吹き上げの座標環としての役割を果たすリース代数の対角の代数的および幾何的性質を調査する。多重次数付きホモロジー代数と対角関手を用いて、イデアルの冪に対する漸近的分解と境界を確立し、$I^j$ の最小自由分解が多項式的なパターンに安定することを証明するとともに、定義イデアルに特定の条件下で、対角がコーエン・マカウレーまたはゴレンシュタインであることを示している。

ABSTRACT

The aim of this work is to study the ring-theoretic properties of the diagonals of a Rees algebra, which from a geometric point of view are the homogeneous coordinate rings of embeddings of blow-ups of projective varieties along a subvariety. In Chapter 1 we extend the definitions and results about the biprojective scheme and the Hilbert polynomial of finitely generated bigraded modules defined over standard bigraded k-algebras to finitely generated bigraded S-modules, for S=k[X_1,..., X_n,Y_1,...,Y_r] the polynomial ring bigraded by deg X_i=(1,0), deg Y_j=(d_j,1), d_j \geq 0. We also relate the shifts in the bigraded minimal free resolution of any finitely generated bigraded S-module to its a-invariants. In Chapter 2 we are concerned with the diagonal functor in the category of bigraded S-modules. We compare the local cohomology modules of a finitely generated bigraded S-module with the local cohomology modules of its diagonals. In Chapter 3 we study in detail the Cohen-Macaulay property of the rings k[(I^e)_c]. Chapter 4 is devoted to study the Gorenstein property of those rings. As a somehow unexpected by-product, the methods used to study the diagonals of a Rees algebra also allow to study the a-invariants of the powers of an ideal and their asymptotic properties (Chapters 5 and 6)

研究の動機と目的

• リース代数の対角の環論的および幾何的性質を理解すること。これらは埋め込まれた射影的多様体の吹き上げの斉次座標環に対応する。
• 特に、部分多様体または点のイデアルに沿った吹き上げの文脈において、これらの対角環がコーエン・マカウレーまたはゴレンシュタインである条件を特定すること。
• 斉次イデアルの冪の最小次数自由分解の漸近的挙動を分析すること。
• 多重次数付きコホモロジーおよび対角関手を用いて、イデアルの冪の$a$-不変量およびヒルベルト関数の明示的境界と構造的結果を導出すること。

提案手法

• 対角関手を用いて、リース代数 $R_A(I) = \bigoplus_{j \to 0} I^j$ から部分代数 $k[(I^e)_c]$ を抽出し、これらは吹き上げ埋め込みの座標環である。
• 多重次数付きコホモロジーと$a$-不変量を用いて、リース代数上のビグレードモジュールの深さと正則性を研究する。
• リース代数のコーゾルホモロジーを用いて $I^j$ の最小自由分解の構造を分析し、単項式イデアルと格子点を用いた表現を得る。
• 分解モジュールのベッチ数とランクの漸近的挙動が、$l-1$ 以下の次数の Hilbert 多項式 $Q(j)$ によって支配されることを示した。ここで $l = l(I)$ は $I$ の解析的スプレッドである。
• 重要な技術的アプローチとして、初期イデアルを用いて問題を単項式イデアルに還元し、$ ext{in}(J)$ が $igcup_{i} ext{supp}( ext{in}(J))$ を通じて対角構造を決定することを用いる。
• 理論は、形式環 $G$、対称代数 $ ext{Sym}_A(I)$、整閉包 $ar{R}$ などの他のビグレードモジュールへと拡張され、類似の漸近的挙動が示された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リース代数の対角 $k[(I^e)_c]$ がコーエン・マカウレーである条件は何か。特に $I$ が $\mathbb{P}^n$ 上の点の集合を定義するとき。
• RQ2 大きな $j$ における $I^j$ の最小自由分解の漸近的構造は何か。また、解析的スプレッド $l(I)$ とどのように関係するか。
• RQ3 イデアルの冪の$a$-不変量を明示的に境界づけることは可能か。また、それらはリース代数の対角構造とどのように関係するか。
• RQ4 形式環 $I$ がゴレンシュタインであるとき、対角環 $k[(I^e)_c]$ がゴレンシュタインである条件は何か。
• RQ5 ヒルベルト関数および $I^j$ のベッチ数の漸近的挙動は何か。それらは多項式関数で記述可能か。

主な発見

• 大きな $j$ における $I^j$ の最小自由分解は、単項式条件の直和として記述される：$D_p^j = \bigoplus_{i,π} A(-\alpha_{pi} - v(\u03c0))$、ここで $\u03c0 \notin C_{pi} + \mathbb{N}^r$ かつ $|\u03c0| = j - \beta_{pi}$。
• 分解モジュールのランクは、$l = l(I)$ を $I$ の解析的スプレッドとして、次数が高々 $l-1$ の多項式 $Q(j)$ として漸近的に増加する。
• リース代数 $R_A(I)$ の$a$-不変量は、生成元の次数と関連ビグレードモジュールの$a$-不変量の項で境界づけられる。
• 直線に $d$ 個の点がのない $\mathbb{P}^2$ 上の点の集合を定義するイデアルに対して、$c \geq d$ のとき対角 $k[(I^e)_c]$ はコーエン・マカウレーであり、形式環がゴレンシュタインであればゴレンシュタインである。
• 点の数が $s = \binom{d+1}{2}$ 個で、$d = \text{reg}(I)$ である $\mathbb{P}^2$ 上のイデアルに対して、$c \geq d+1$ のとき対角 $k[(I^e)_c]$ は算術的にコーエン・マカウレーであり、二次式によって定義される。
• $(\text{Tor}_p^A(k, I^j)$ の漸近的挙動は、次数 $\leq l-1$ の Hilbert 多項式 $P(j)$ によって支配され、$p$ 番目のシンギュラリティモジュールの生成数は同じ次数の多項式 $Q(j)$ で数えられる。