[論文レビュー] On the differentiability of solutions of stochastic evolution equations with respect to their initial values

Adam Andersson, Arnulf Jentzen+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 2, 2016

Stochastic processes and financial applications参考文献 24被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、漂移項Fと拡散項Bの両方がn回連続的にFréchet微分可能で、その導関数が一様有界であるという仮定の下で、半線形放物型確率発展方程式（SEEs）の解が初期値に関してn回連続的にFréchet微分可能であることを確立する。主な貢献は、高階導関数過程における強化された正則性の同定であり、SEEsの線形生成作用素が滑らかさを与えることにより、数値近似における鋭い確率的弱収束率が達成可能であることを示している。

ABSTRACT

In this article we study the differentiability of solutions of parabolic semilinear stochastic evolution equations (SEEs) with respect to their initial values. We prove that if the nonlinear drift coefficients and the nonlinear diffusion coefficients of the considered SEEs are $n$-times continuously Fr\'{e}chet differentiable, then the solutions of the considered SEEs are also $n$-times continuously Fr\'{e}chet differentiable with respect to their initial values. Moreover, a key contribution of this work is to establish suitable enhanced regularity properties of the derivative processes of the considered SEE in the sense that the dominating linear operator appearing in the SEE smoothes the higher order derivative processes.

研究の動機と目的

• 半線形放物型確率発展方程式（SEEs）の解が初期値に関してFréchet微分可能であることを確立すること。
• 解の導関数過程の正則性特性、特にSEEsにおける支配的線形作用素による導関数過程の強化された滑らかさを調査すること。
• 確率的弱数値スキームにおける鋭い収束率を支えるために、高階導関数過程の定量的バインドを導出すること。
• 非線形SPDEの数値近似手法の分析の理論的基盤を提供することを目的とし、解の導関数の正則性を特徴づけること。

提案手法

• 無限次元ウィーナー過程によって駆動される放物型半線形SEEsの解を解析するため、半群的手法を用いる。
• 解およびその導関数を、半群と非線形係数を含む確率的畳み込み積分として表すために、定数変化の公式を用いる。
• 無限次元伊藤積分法における合成関数の法則から導かれる確率的積分方程式を用いて、k階導関数過程を再帰的に構成する。
• 線形作用素Aが生成する解析的半群の滑らかさ効果を活用して、導関数過程のLpノルムに対するバインドを確立する。
• 多変数線形項の正則性を捉えるために、負のソボレフ型空間（H^{-δ}）を含む重み付きノルムを導入する。
• 多変数項の組み合わせ的分解とミンコフスキーの不等式およびジェンセンの不等式を組み合わせて、導関数過程の成長を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 半線形放物型SEEsの解が、初期値に関してn階の意味でFréchet微分可能となる条件は何か？
• RQ2 SEEsにおける線形作用素Aの滑らかさ特性が、高階導関数過程の正則性にどのように影響するか？
• RQ3 多変数項が弱ノルム（H^{-δ}）で測定される場合に、k階導関数過程のLpノルムに対してどのような定量的バインドを確立できるか？
• RQ4 導関数過程の強化された正則性を活用して、数値スキームにおける鋭い確率的弱収束率を導出できるか？
• RQ5 係数のリプシッツ定数と半群の減衰特性が、同時に導関数過程の安定性および成長にどのように作用するか？

主な発見

• 漂移項Fと拡散項Bがn回連続的にFréchet微分可能で、その導関数が一様有界であるならば、SEEsの解X0,xは初期値xに関してn回連続的にFréchet微分可能である。
• k階導関数過程Xk,(x,u)は、定理2.1で明示的に特徴づけられた確率的積分方程式を満たし、高階導関数の再帰的解析が可能である。
• すべてのp ∈ (0, ∞)、k ∈ {1, ..., n}、およびδ1, ..., δk ∈ [0, 1/2) で∑δi < 1/2を満たす場合、量t^{(∑δi)−1/2} ∥Xk,u_t∥_{Lp(P;H)} / ∏∥ui∥_H^{−δi} はt ∈ (0,T]で一様有界である。これは強化された正則性を示している。
• δiの和が1/2未満であるとき、導関数過程はL(⊗_{i=1}^k H^{-δi}, Lp(P;H))に値をとる連続的埋め込み部分空間に属し、弱ノルムにおける改善された正則性が示されている。
• 異なる初期値における導関数過程の差は、∥x−y∥_Hと多変数項の弱ノルムを含むバインドを満たし、確率的弱スキームにおける鋭い収束解析を支援する。
• 定理2.1で得られたバインドは明示的であり、FとBのC^k有界性、半群の減衰、多変数項の組み合わせ的構造に依存しており、数値近似における厳密な誤差制御を可能にする。