[論文レビュー] On the disjointness property of groups and a conjecture of Furstenberg

Eli Glasner, Benjamin Weiss|arXiv (Cornell University)|Jul 23, 2018

Advanced Topology and Set Theory被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、1967年のFurstenbergの予想である、ベルヌーイ系と最小的系の非交差性に関する予想を、可算群の広いクラスへ一般化する。DJおよびDDJ性質——群作用における動的条件——を導入することで、すべての有限生成DDJ群がDJであることを証明し、したがってFurstenbergの予想は、このクラスのすべての群に対して成り立つ。これは、従来のℤからの拡張であり、一般の可解群および余有限群へも拡張される。

ABSTRACT

In his seminal 1967 paper "Disjointness in ergodic theory, minimal sets, and a problem in Diophantine approximation" Furstenberg introduced the notion of disjointness of dynamical systems, both topological and measure preserving. In this paper he showed that for actions of the integers the Bernoulli system $Ω= \{0, 1\}^\mathbb{Z}$, is disjoint from every minimal system, and that the subring $R_0$, over the field $\mathbb{Z}_2 =\{0, 1\}$, generated by the minimal functions in $Ω$, is a proper subset of $Ω$. He conjectured that a similar result holds in general and in our 1983 work "Interpolation sets for subalgebras of $l^\infty(\mathbb{Z})$" we confirmed this by showing that the closed subalgebra $\mathfrak{A}$ of $l^\infty(\mathbb{Z})$, generated by the minimal functions, is a proper subalgebra of $l^\infty(\mathbb{Z})$. In this work we generalize these results to a large class of groups. We call a countable group $G$ a DJ group if for every metrizable minimal action of $G$ there exists an essentially free minimal action disjoint from it. We show that amenable groups are DJ and that the DJ property is preserved under direct products. We define a simple dynamical condition DDJ on minimal systems, which is a strengthening of the Gottchalk-Hedlund property, and we say that a group $G$ is DDJ if every minimal $G$-system has this property. The DJ property implies DDJ and by means of an intricate construction we show that every finitely generated DDJ group is also DJ. Residually finite, maximally almost periodic and $C^*$-simple groups are all DDJ. Finally we show that Furstenberg's conjecture holds for every DDJ group.

研究の動機と目的

• ベルヌーイ系と最小的系の非交差性に関するFurstenbergの予想を、ℤから可算群の広いクラスへ拡張すること。
• 可算群におけるDJ性質——任意の与えられた最小的作用から非交差する本質的に自由な最小的作用の存在——を定義し、その分析を行うこと。
• Gottschalk-Hedlund条件の強化版であるDDJ性質を導入し、DJ性質の十分条件とする。
• DJ性質がDDJを含むことを確立し、すべての有限生成DDJ群がDJであることを示し、Furstenbergの予想がこの設定で成立することを確認すること。
• 可解群、余有限群、最大几乎周期群、C*-単純群といった重要な群のクラスがすべてDDJであることを示し、したがって予想を満たすことを示すこと。

提案手法

• 可算群Gが、任意の距離化可能な最小的G作用に対して、それと非交差する本質的に自由な最小的作用が存在するとき、GをDJと定義する。
• Gottschalk-Hedlund性質を強化した動的条件としてDDJ性質を導入し、最小的系における一様再帰性と分離性を保証する。
• DJ性質がDDJ性質を含むことを証明し、群の性質の階層を確立する。
• 位相的力学および記号的力学の技法を用いて、すべての有限生成DDJ群がDJであることを示す、複雑な例を構成する。
• 可解群がDJであることを示し、DJ性質が直積において保存されることを示す。
• 構造的性質を用いて、余有限群、最大几乎周期群、C*-単純群がDDJ条件を満たすことを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Furstenbergのベルヌーイ系と最小的系の非交差性に関する予想は、ℤを越えて他の可算群に対しても拡張可能か？
• RQ2 どのような群論的条件下で、すべての最小的作用が、非交差する本質的に自由な最小的作用を持つのか？
• RQ3 Gottschalk-Hedlund条件を強化したDDJ性質は、DJ性質を保証する十分条件か？
• RQ4 可解群、余有限群、C*-単純群といった重要な群のクラスは、DJまたはDDJか？
• RQ5 DJ性質は、直積のような群演算において保存されるか？

主な発見

• 可解群はDJである。つまり、任意の距離化可能な最小的作用に対して、それと非交差する本質的に自由な最小的作用が存在する。
• DJ性質は群の直積において保存される。
• すべての有限生成DDJ群はDJである。これは、動的条件と非交差性の性質との間の橋渡しを確立する。
• 余有限群、最大几乎周期群、C*-単純群はすべてDDJである。したがって、より強い動的条件を満たす。
• Furstenbergの予想は、すべてのDDJ群に対して成り立つ。これは、このクラスにおいて最小的系から非交差するベルヌーイ型系が存在することを確認する。
• 最小関数で生成されるl∞(ℤ)の閉部分代数𝔞は、真の部分代数である。これは、以前のℤに関する結果をより広い群の設定へ一般化する。