[論文レビュー] On the dispersion relation for compressible Navier-Stokes Equations

S Benjelloun, Jean‐Michel Ghidaglia|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2020

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics参考文献 5被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、線形化された1次元ナビエ＝ストークス方程式から導出された分散関係を用いて、圧縮性粘性流体における音波の分散および減衰を再考する。位相速度は、プラントル数に応じて断熱的から等温的値へと変化する。高プラントル数では、音速は断熱的音速に近づき、低プラントル数では等温的音速に収束する。Knudsen数およびプラントル数を用いた漸近展開により補正項が得られる。

ABSTRACT

In this paper we revisit the classical sound dispersion and attenuation theory due to Stokes [5], 1845, and Kirchhoff [3], 1868, for the propagation of sound in non-ideal fluids. In particular we reformulate the analysis due to Fletcher[2], 1974, showing conditions for which the sound propagates at the isothermal speed of sound. Also we presents asymptotic developments making precise the physical conditions under which the different dispersion and attenuation formulas apply.The more complex case of two-fluid flow is addressed by Benjelloun and Ghidaglia [1] to which the reader is referred.

研究の動機と目的

• 圧縮性粘性流体における音波の分散および減衰を、線形化ナビエ＝ストークス方程式を用いて再導出し、明確化すること。
• ストークスおよびキルホフの研究やフレチャーアナリシスを再検討することで、古典的音波伝播理論における曖昧さを解消すること。
• 断熱的または等温的音速公式が適用される正確な物理的条件を確立すること。
• プラントル数およびKnudsen数を用いた位相速度および減衰の漸近展開を提供すること。
• 音波伝播における熱力学的係数（ Grüneisen 定数および比熱など）の役割を明確化すること。

提案手法

• 平均速度がゼロの定常状態のまわりで1次元圧縮性ナビエ＝ストークス方程式を線形化する。
• 平面波解 $ W = W_0 \exp i(kx - \omega t) $ の仮定により、行列固有値問題に帰着する。
• 行列 $ -i\omega I + ikA + k^2B $ の特性多項式として分散関係を導出する。ここで $ A $ および $ B $ は、流体の性質を記述するシステム行列である。
• プラントル数が非常に大きい（$ Pr \to \infty $）および非常に小さい（$ Pr \to 0 $）極限における漸近解析により、位相速度および減衰の主要項の振る舞いを抽出する。
• 熱力学的恒等式を用いて、圧力、エントロピー、温度の摂動を密度およびエントロピー摂動で表現する。
• Knudsen数 $ Kn \propto k\mu/\rho c $ を導入し、流体力学的近似の有効性を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 粘性流体において音波が断熱的音速で伝播する、あるいは等温的音速で伝播する物理的条件は何か？
• RQ2 粘性および熱的効果は、圧縮性流体内の音波の位相速度および減衰にどのように影響を与えるか？
• RQ3 プラントル数が断熱的・等温的音速領域のどちらが支配的であるかを決定する役割を果たすか？
• RQ4 $ 1/Pr $ および $ Pr $ における漸近展開は、異なる音速領域間の過渡的挙動をどのように明らかにするか？
• RQ5 Knudsen数および流体の性質は、音波伝播における流体力学的近似の有効性にどの程度影響を与えるか？

主な発見

• 高プラントル数（$ Pr \to \infty $）では、音波の位相速度は断熱的音速 $ c(k) $ に近づき、補正項は $ \mathcal{O}(1/Pr) $ のオーダーとなり、減衰は主に粘性に起因する。
• 低プラントル数（$ Pr \to 0 $）では、位相速度は等温的音速 $ c_T(k) $ に収束し、主な補正項は $ Pr $ に比例し、熱的効果が減衰を支配する。
• 高プラントル数極限において、位相速度 $ \omega_R^+/k $ は $ 1 - \frac{2}{9}(Kn)^2 + \frac{\gamma-1}{2\gamma} \frac{Kn}{Pr} + \mathcal{O}(Kn^2/Pr) $ で近似され、流体力学的パラメータと波の分散を結びつける。
• 低プラントル数極限では、$ \omega_R^+/k \approx 1 - \frac{2}{9}(Kn)^2 + \frac{\gamma-1}{3\gamma} Pr + \mathcal{O}(Kn^2 Pr) $ となり、等温的挙動への過渡的挙動が明確に示される。
• 周波数の虚部 $ \omega_I^0/k $ は、高プラントル数では $ -\frac{3k a_1}{2} \frac{1}{Pr} $、低プラントル数では $ \frac{3k a_1 \gamma}{2Pr} $ に比例し、強い減衰依存性が熱的および粘性的散逸に起因することを示す。
• 解析により、 Grüneisen 定数 $ \Gamma $、比熱 $ C_v $、熱伝導率 $ \lambda $ が波の速度および減衰を決定づける重要な役割を果たすことが確認され、熱力学的恒等式から明示的な式が導出された。