[論文レビュー] On the distribution of gaps between consecutive primes

J. Pintz|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2014

Analytic Number Theory Research参考文献 7被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、特定の緩やかに増加する関数 $ f(n) \leq c_0 g(n) \log n $、ここで $ g(n) = \frac{\log_2 n \log_4 n}{(\log_3 n)^2} $ である場合、$ d_n / f(n) $ の極限点の集合が区間 $[0, c_f] $ を含むことを確立している。また、急激に増加する関数の列に対しては、極限集合が $[0, \infty) $ になることを示している。Erdősの予想を改良し、修正された正規化関数 $ f(n) $ でさえも、素数ギャップの挙動の全範囲が捉えられることを示しており、Maynardの研究にインspiredされた洗練された篩法を用いている。

ABSTRACT

Erdös conjectured that the set J of limit points of d_n/logn contains all nonnegative numbers, where d_n denotes the nth primegap. The author proved a year ago (arXiv: 1305.6289) that J contains an interval of type [0,c] with a positive ineffective value c. In the present work we extend this result for a large class of normalizing functions. The only essential requirement is that the function f(n) replacing logn should satisfy f(n)<

研究の動機と目的

• Erdősの予想――$ d_n / \log n $ の極限点の集合が $[0, \infty]$ であること――を検証すること
• Erdős–Rankin関数 $ g(n) $ が、$ d_n $ を正規化するのにも使用可能かどうかを特定すること。つまり、$ d_n / f(n) $ の極限集合が $[0, \infty)$ になるかどうかを検証すること
• Banks, Freiberg, and Maynardの手法を拡張し、$ f(n) \leq c_0 g(n) \log n $ である任意の関数 $ f(n) $ に対しても、正の測度を持つ極限点集合が得られることを示すこと
• 急激に増加する関数の列 $ f_i(n) $ に対して、$ d_n / f_i(n) $ の極限集合が、有限個の関数を除き、すべての $[0, \infty)$ に一致することを示すこと
• 特定のシフトを篩い除かないようにする新しい有効な篩法を提供し、期待される素数タプルの数を保持すること

提案手法

• Maynardの2014年の発見的進展にインspiredされた修正された篩法を用い、固定されたシフト $ h_i^* $ を除外する可能性のある素数 $ q $ を避けるように確率 $ \mu_{1,q}^*(a) $ を調整する
• 特定の剰余類 $ a \mod q $ に対して、$ n + h_i^* \equiv 0 \mod q $ を満たすと $ h_i^* $ が消去される可能性があるため、(6.16)式のゼロ確率条件を課すことで、$ h_i^* $ が除外されないように保証する
• 正規化を維持するために、残りの確率を $ \alpha_{1,q}^* / \alpha_{1,q} $ にスケーリングし、選択された素数の期待数を増加させる
• ほとんどの $ p_0 \notin \mathcal{H}^* $ に対して、$ \sum_q \mu_{1,q}^*(p_0) \gg \delta \log k $ が、$ O(1) $ 個の項を除いても依然として大きく保たれることを示す
• 各 $ p_0 \equiv h_i^* \mod q $ が、$[x/2, x] $ 内の高々1つの $ q $ に対して成り立つことから、影響を受ける項の数が制限されることを応用する
• 関数列 $ f_i(n) $ に対して、$ f_{i+1}/f_i \to \infty $ である場合、$ J_{f_i} = [0, \infty) $ を満たさない $ f_i $ は高々98個であることを示す

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Erdős–Rankin関数 $ g(n) $ を用いて、$ d_n $ を正規化し、$ d_n / f(n) $ の極限点集合が区間 $[0, c_f] $ を含むかどうか
• RQ2 どの関数 $ f(n) \leq c_0 g(n) \log n $ に対して、集合 $ J_f = \{ d_n / f(n) \}' $ が $[0, c_f] $ を含むか
• RQ3 元のErdős予想 $ J_{\log n} = [0, \infty] $ が、緩やかに変化する正規化関数 $ f(n) $ を用いて近似可能または置き換え可能かどうか
• RQ4 Banks, Freiberg, and Maynardの手法が、$ f(n) \leq c_0 g(n) \log n $ である関数に対しても、正の測度の結果を保持するか
• RQ5 急激に増加する関数列 $ \{f_i\} $ に対して、$ J_f $ がすべての $ f_i $ に対して $[0, \infty)$ に等しくなるかどうか（有限個の例外を除く）

主な発見

• 任意の関数 $ f(n) \nearrow \infty $ が (1.5) を満たし、$ f(n) \leq c_0 g(n) \log n $ である場合、非有効定数 $ c_f $ が存在し、$[0, c_f] \subset J_f = \{ d_n / f(n) \}' $ が成り立つ
• 任意の列 $ \{f_i\} $ で $ f_{i+1}/f_i \to \infty $ である場合、$ J_{f_i} = [0, \infty) $ を満たさない $ f_i $ は高々98個である
• 本手法により、Maierの1981年の結果 $ \limsup_{h \to \infty} \frac{\min(d_{n+1}, \dots, d_{n+m})}{g(n) \log n} > 0 $ の新しい証明が得られる
• 任意のこのような $ f $ に対して、$ J_f $ に属する非負実数は全実数の2％以上を占める。これはBanks, Freiberg, and Maynardの結果を拡張したものである
• 関数 $ \lambda_{d_1,\dots,d_k,e_1,\dots,e_k} = 0 $ と定義することで、$ q_0 \mid \prod (d_i e_i) $ である場合に、有効な篩法を構築した。その結果、$ 1 + o(1) $ の損失を伴うが、有効性が保証される
• 系1では、$ \eta(n) \to 0 $ である任意の $ \eta(n) $ に対して $ \eta(n) \log n \leq f(n) \leq \log n $ となるように $ f(n) $ を選んでも、$ J_f = [0, \infty) $ が成り立つことが示されている