[論文レビュー] On the dynamics of mean-field equations for stochastic neural fields with delays

Jonathan Touboul|arXiv (Cornell University)|Aug 11, 2011

Neural dynamics and brain function参考文献 37被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、発火レートニューロンにおける遅れを伴う確率的ニューラルフィールド方程式のダイナミクスを調査し、解のガウス性のおかげで、複雑な平均場方程式が、1次のモーメントと2次のモーメントについて、正確に遅れ付き積分微分方程式に簡約されることを示している。主な貢献は、内在的ノイズの非線形的組み込みであり、ノイズの振幅がホップ分岐の連鎖を引き起こし、波やバンプの分裂を含む複雑な空間時間的パターンを誘発することを明らかにしている。

ABSTRACT

The cortex is composed of large-scale cell assemblies sharing the same individual properties and receiving the same input, in charge of certain functions, and subject to noise. Such assemblies are characterized by specific space locations and space-dependent delayed interactions. The mean-field equations for such systems were rigorously derived in a recent paper for general models, under mild assumptions on the network, using probabilistic methods. We summarize and investigate general implications of this result. We then address the dynamics of these stochastic neural field equations in the case of firing-rate neurons. This is a unique case where the very complex stochastic mean-field equations exactly reduce to a set of delayed differential or integro-differential equations on the two first moments of the solutions, this reduction being possible due to the Gaussian nature of the solutions. The obtained equations differ from more customary approaches in that it incorporates intrinsic noise levels nonlinearly and make explicit the interaction between the mean activity and its correlations. We analyze the dynamics of these equations, with a particular focus on the influence of noise levels on shaping the collective response of neural assemblies and brain states. Cascades of Hopf bifurcations are observed as a function of noise amplitude, for noise levels small enough, and delays, in a finite-population system. The presence of spatially homogeneous solutions in law is discussed in different non-delayed neural fields and an instability, as noise amplitude is varied, of the homogeneous state, is found. In these regimes, very complex irregular and structured spatio-temporal patterns of activity are exhibited including in particular wave or bump splitting.

研究の動機と目的

• ノイズおよび空間的に遅れのある相互作用を受ける大規模神経集合の集団的ダイナミクスを理解すること。
• 内在的ノイズレベルが遅れ付き平均場モデルにおける神経集団の応答に非線形的に与える影響を調査すること。
• ノイズおよび遅れパラメータを変化させた場合の、均一な活動状態の安定性と複雑な空間時間的パターンの出現を分析すること。
• 発火レートニューロンのための確率的平均場方程式をモーメント方程式に厳密に簡約すること。

提案手法

• 本研究では、やや弱いネットワーク仮定の下で、確率的手法を用いて、遅れ付き確率的ニューラルフィールド方程式の平均場方程式を厳密に導出する。
• 発火レートニューロンに焦点を当て、解のガウス性のおかげで、完全な確率的方程式が、1次および2次モーメントについての遅れ付き積分微分方程式系に正確に簡約可能である。
• これらのモーメント方程式のダイナミクスは、特にノイズ振幅と遅れを変数とするホップ分岐に注目して、分岐理論を用いて分析される。
• 解析には、法則に従う空間的に均一な解の安定性と、波やバンプの分裂のような構造的で不規則なパターンの出現が含まれる。
• 数値的および解析的技術が用いられ、ノイズが集団的脳状態およびパターン形成に与える影響が探索される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 内在的ノイズは、遅れ付き確率的ニューラルフィールドにおける神経集合の集団的ダイナミクスにどのように非線形的に影響を与えるか？
• RQ2 遅れとノイズ振幅は、有限集団神経系におけるホップ分岐を誘発するために果たす役割は何か？
• RQ3 法則に従う均一状態が不安定化する条件は何か？ その結果、パターン形成が生じるか？
• RQ4 ノイズと遅れが、波またはバンプの分裂のような複雑な空間時間的パターンの出現をどのように共同で形作るか？

主な発見

• ノイズ振幅が増加するに従い、十分に小さなノイズレベルではホップ分岐の連鎖が観察され、集団的活動の周期的性質の出現を示している。
• ノイズ振幅を変化させることで、法則に従う均一状態が不安定化し、複雑で不規則的かつ構造的な空間時間的パターンが出現する。
• 波やバンプの分裂現象は、系内のノイズ誘発不安定性の直接的結果として観察される。
• 発火レートニューロンでは、解のガウス性のおかげで、完全な確率的平均場方程式からモーメント方程式への簡約が正確に成立する。
• 導出された方程式は、平均活動とその相関の非線形的相互作用を明示的に捉えており、従来のアプローチとは明確に区別される。