[論文レビュー] On the effectivity of spectra representing motivic cohomology theories

Tom Bachmann, Jean Fasel|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2017

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 27被引用数 21

ひとこと要約

本稿は、無限の完全体上でのモチーフ的スペクトルが有効である、すなわち滑らかなスキームのスパンスペクトルが生成する局所化部分カテゴリに属するかどうかを判定する一般基準を確立する。この基準を用いて、MW-モチーフ的コホロロジーとℤ係数をもつ一般化モチーフ的コホロロジーを表すスペクトルが自然に同型であることを証明し、モチーフ的安定ホモトピー圏におけるモチーフ的コホロロジーの2つの最近のアプローチを統合する。

ABSTRACT

Let k be an infinite perfect field. We provide a general criterion for a spectrum in the stable homotopy category over k to be effective, i.e. to be in the localizing subcategory generated by the suspension spectra of smooth schemes. As a consequence, we show that two recent versions of generalized motivic cohomology theories coincide.

研究の動機と目的

• SH(k)におけるモチーフ的スペクトルが有効である、すなわち滑らかなスキームのスパンスペクトルが生成する局所化部分カテゴリに属するかどうかを判定する一般基準を提供すること。
• 最近の一般化モチーフ的コホロロジーの異なる構成、特にMW-モチーフ的コホロロジーと抽象的一般化モチーフ的コホロロジーが同じ理論を表すかどうかという未解決の問題を解消すること。
• フレームド対応、MW-対応、およびGW-モチーフに基づく、異なるモチーフ的コホロロジーのアプローチを統一すること。具体的には、それらを表すスペクトルがモチーフ的安定ホモトピー圏内で同型であることを示すこと。
• MW-モチーフ的コホロロジー（ℤ係数）を表すスペクトルと、一般化モチーフ的コホロロジー（ℤ係数）を表すスペクトルが同型であることを示し、これらの理論が自然に同一視されることを確立すること。

提案手法

• 著者らは、有効性のための新しい基準を導入する。スペクトル E ∈ SH(k) が有効であるための必要十分条件は、すべての n ≥ 1 およびすべての有限生成体 F/k に対して (E ∧ Gm^∧n)(Δ̂•_F) ≃ 0 となることである。
• この基準は、標準的n単体上のF上の基本的滑らかなコシンプルススキーム Δ̂•_F におけるスペクトルの評価に基づく。Levineのコンアイエーションフィルトレーションを用いて零番目のスライスを計算する。
• 彼らは、Gm^∧n が表す前層がSuslinの意味で有理的コンパクトであることを証明し、[13]の結果を半局所スキームへ拡張する。これは基準の成立に不可欠である。
• 証明には、前層のSuslin複体とそのNisnevich層化の複体を比較する手法を用い、特に半局所スキームの文脈で考察する。
• 著者らは、SH(k)とMW-モチーフの圏との間の随伴を用いて、代表スペクトルを関連づける。有効t構造のハートが良好に振る舞うという事実を活用する。
• 彼らは、MW-モチーフ的コホロロジーを表すスペクトル U(1) が有効であることを示し、そのホモトピー群とGrothendieck-Witt群の作用の比較を通じて、一般化モチーフ的コホロロジーのスペクトル H~ℤ と比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ℤ係数をもつMW-モチーフ的コホロロジーと一般化モチーフ的コホロロジーを表すスペクトルは、SH(k)において同じモチーフ的コホロロジー理論を表すか？
• RQ2 モチーフ的スペクトルが有効である、すなわち滑らかなスキームのスパンスペクトルが生成する局所化部分カテゴリに属するかどうかを判定する一般基準は何か？
• RQ3 フレームド対応、MW-対応、およびGW-モチーフに基づく異なるバージョンのモチーフ的コホロロジーをどのように比較できるか？
• RQ4 Suslinの以前の研究で用いられた多相対応コホロロジーに依存せずに、モチーフ的コホロロジー理論の比較を達成できるか？
• RQ5 有理的コンパクト性がモチーフ的ホモトピー論におけるスペクトルの有効性の確立において果たす役割は何か？

主な発見

• ℤ係数をもつMW-モチーフ的コホロロジーを表すスペクトル U(1) と、一般化モチーフ的コホロロジーを表すスペクトル H~ℤ は、SH(k)において自然に同型である。
• 著者らは、有効性の一般基準を確立した。スペクトル E ∈ SH(k) が有効であるための必要十分条件は、すべての n ≥ 1 およびすべての有限生成体 F/k に対して (E ∧ Gm^∧n)(Δ̂•_F) ≃ 0 となることである。
• Gm^∧n が表す前層は、それが層でないにもかかわらず、Suslinの意味で有理的コンパクトである。この性質は、有効性基準にとって不可欠である。
• 一般化モチーフ的コホロロジーを表すスペクトル H~ℤ は有効であり、そのホモトピー群は π_{0,0}(H~ℤ) ≃ ℤ および n ≠ 0 のとき π_{n,0}(H~ℤ) ≃ 0 を満たす。
• モチーフ的コホロロジー理論の比較は、U(1) と H~ℤ が両方とも有効であり、有効t構造のハートに属することを示し、その後 π_{0,0} および π_{-1,-1} 群の比較により同型であることを証明することで達成される。
• この結果により、GW-モチーフの圏 DM^GW(k) とMW-モチーフの圏 DM̃(k) が同値であり、両者とも H~ℤ 上の高階構造モジュールの圏に同値であることが示された。