[論文レビュー] On the eigenvalues for slowly varying perturbations of a periodic Schrödinger operator

Magali Marx|ArXiv.org|Mar 12, 2005

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 23被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、断熱極限（$\varepsilon \to 0$）における緩やかに変化し、減衰するポテンシャルで摂動された周期的ポテンシャルを有する1次元シュレーディンガー作用素の固有値を分析する。複素WKB法と空間変数と位相変数を結ぶ一貫性条件を用いて、スペクトルギャップにおける固有値の漸近展開を導出し、それがトンネル効果によって定まる指数的に小さな振幅の振動を示すことを示している。主な結果は、正確な指数的補正を含むボーア＝ゾンマーフェルト型の量子化則である。

ABSTRACT

In this paper, I consider one-dimensional periodic Schr{ö}dinger operators perturbed by a slowly decaying potential. In the adiabatic limit, I give an asymptotic expansion of the eigenvalues in the gaps of the periodic operator. When one slides the perturbation along the periodic potential, these eigenvalues oscillate. I compute the exponentially small amplitude of the oscillations.

研究の動機と目的

• 1次元シュレーディンガー作用素の周期的ポテンシャルに緩やかに減衰するポテンシャルが摂動された系の、断熱極限（$\varepsilon \to 0$）におけるスペクトル的挙動を分析すること。
• 周期的作用素のスペクトルギャップに生じる固有値の位置と性質を特定・特徴付けること。
• これらの固有値の漸近的展開を導出し、量子トンネル効果に起因する指数的に小さな振幅の振動的挙動を示すこと。
• 摂動の形状と周期的ポテンシャルのバンド構造に基づいて、固有値のボーア＝ゾンマーフェルト型の量子化則を確立すること。

提案手法

• 研究は、空間的および位相的進化を結ぶ一貫性条件 $ f(x+1,\varphi,E,\varepsilon) = f(x,\varphi+\varepsilon,E,\varepsilon) $ を満たす解を構成するため、複素WKB法を用いる。
• 位相変数 $ \varphi \to \pm \infty $ の複素半帯領域において、減衰する左・右の退化解（recessive solutions）を構成する。
• 左および右の退化解間のワロンスキー式の消滅条件 $ w(h_-^g, h_+^d) = 0 $ を用いて固有値を特定する。
• 修正された位相関数 $ \widetilde{\Phi} $ を用いて固有値の漸近的挙動を導出する。この関数の逆関数が固有値の位置を提供する。
• $ \widetilde{\Phi}^{-1} $ の一次のテイラー展開により、摂動の2階微分とバンド端における状態密度 $ d_i(E_r) $ を用いた、固有値の主要項の公式が得られる。
• 振動の指数的に小さな振幅は、複素WKB解析から導かれるトンネル係数によって決定される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 断熱極限における緩やかな変化するポテンシャルで摂動された周期的シュレーディンガー作用素の固有値は、どのように振る舞うか？
• RQ2 このような摂動の下で、周期的作用素のスペクトルギャップに現れる固有値の漸近的構造は何か？
• RQ3 位相パラメータ $ \varphi $ は、これらの固有値の位置と振動的挙動にどのように影響を与えるか？
• RQ4 観察される固有値スペクトルの指数的に小さな振幅は、何によって決定されるか？
• RQ5 これらの摂動された固有値に対して、ボーア＝ゾンマーフェルト型の量子化則を厳密に導出できるか？

主な発見

• スペクトルギャップ内の固有値 $ E^{(l)}(\varphi,\varepsilon) $ は、漸近的に $ \widetilde{\Phi}^{-1}(\varepsilon(l\pi + \pi/2)) + o(\varepsilon^\infty) $ と与えられ、$ \varphi $ に依存する量子化的・振動的依存性を示す。
• 固有値の主要項の漸近的展開は、$ E^{(l)}(\varphi,\varepsilon) = E_r + W(0) + \sqrt{\frac{W''(0)}{2}} \cdot \frac{1}{d_i(E_r)} (2l+1)\varepsilon + o(\varepsilon) $ で与えられ、ここで $ d_i(E_r) $ はバンド端における状態密度である。
• 固有値の振動の振幅は指数的に小さく、複素WKB解析から導かれるトンネル係数によって決定される。
• スペクトル射影のトレース $ \textrm{tr}[f(H_{\varphi,\varepsilon})] $ は、修正された位相関数 $ \widetilde{\Phi} $ を用いた漸近展開を有し、主要項は $ \frac{1}{2\pi} \int_{[-\pi,\pi]} \int_{\varphi_r^-}^{\varphi_r^+} f(E(\kappa) + W(u)) \, d\kappa \, du $ である。
• 本手法は、標準的な漸近展開で失われる指数的に小さな補正を捉えることができることから、トレース公式に比べて固有値の局在化をより正確に実現する。
• 解析により、固有値は $ \varphi $ に関して $ \varepsilon $-周期的であり、周期的ポテンシャルと緩やかに変化する摂動の間の相互作用がその振動を支配することが確認された。