[論文レビュー] On the $\ell$-adic Galois representations attached to nonsimple abelian varieties

Davide Lombardo|arXiv (Cornell University)|Feb 6, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 31被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、有限生成体上の非単純なアーベル多様体に付随する$α$-adicガロア表現が、その単純因子に付随する表現の積に分解する十分条件を確立する。Lie理論的基準および$α$-adic版のホッジ理論的結果を用いて、因子が非同型であり、自己準同型代数と表現に特定の代数的条件を満たすとき、$H_{\ell}(A_1 \times A_2) \cong H_{\ell}(A_1) \times H_{\ell}(A_2)$が成り立つことを証明する。これは特徴が正である場合に古典的結果を拡張し、次元が低いアーベル多様体に対するムーディ・テイト予想の検証を提供する。

ABSTRACT

We study Galois representations attached to nonsimple abelian varieties over finitely generated fields of arbitrary characteristic. We give sufficient conditions for such representations to decompose as a product, and apply them to prove arithmetical analogues of results shown by Moonen and Zarhin in the context of complex abelian varieties (of dimension at most 5).

研究の動機と目的

• 有限生成体上の非単純アーベル多様体に付随する$α$-adicガロア表現の構造を理解すること。
• 代数的モノドロミー群$H_{\ell}(A_1 \times A_2)$が$H_{\ell}(A_1) \times H_{\ell}(A_2)$に分解するための十分条件を提供すること。
• ハザマおよび市川のホッジ理論的結果を、任意の特徴を持つ$α$-adic設定に拡張すること。
• 複素数体の有限生成部分体上の次元が5以下のアーベル多様体に対して、ムーディ・テイト予想を検証すること。

提案手法

• $H_{\ell}(A)$のリー代数構造と、$\overline{\mathbb{Q}}_{\ell}$上での単純成分への分解を用いてガロア作用を分析する。
• リビット風の補題と、ラーセン＝ピンクおよびピンクの技術を適用して$H_{\ell}(A)$の導来群を制御する。
• 相対次元および自己準同型代数のアーベル分類を用いて、アーベル多様体のタイプを区別する。
• ℓ-adic設定において、ランク比較と同型写像の議論を通じて、$H_{\ell}(A) \cong H_{\ell}(A_1) \times H_{\ell}(A_2)$の同型を確立する。
• $H_{\ell}(A)$のランクが$\ell$に依存しないことを利用して、単一の素数$\ell$における局所同型から、グローバルな同型を導出する。
• 次元4の多様体に対して、$\operatorname{End}_{\overline{K}}(A_1) = \mathbb{Z}$のとき、[16]における一般Lefschetz型および[21]における$\operatorname{SL}_2^n$の$\mathbb{Q}$-形の結果を用いて、可能な$H_{\ell}(A)$の分類を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非同型なアーベル多様体の積の$\ell$-adicガロア表現が、因子の表現の積に分解するための条件は何か？
• RQ2 複素アーベル多様体に対してイチカワが提示したホッジ理論的基準を、正の特徴における$\ell$-adic設定に拡張できるか？
• RQ3 複素数体の部分体上の次元が5以下のアーベル多様体に対して、多様体が$\overline{K}$-同型に単純因子の積に分解可能であるとき、ムーディ・テイト予想は成り立つか？
• RQ4 アーベル分類において$A_1$がタイプIVで$A_2$がタイプI、II、またはIIIであるとき、$H_{\ell}(A_1 \times A_2) \cong H_{\ell}(A_1) \times H_{\ell}(A_2)$はいつ成立するか？
• RQ5 相対次元および最高重量安定性が$H_{\ell}(A)$の分解を決定づける役割を果たすのはどのような場合か？

主な発見

• 定理4.1は、リー代数とその作用の半単純性および表現論的適合性に基づく、$H_{\ell}(A_1 \times A_2) \cong H_{\ell}(A_1) \times H_{\ell}(A_2)$の十分条件を提供する。
• 推論4.5は、$K \subset \mathbb{C}$で、次元$\leq 2$の絶対単純な$A_i$が互いに非同型であるとき、$A$が$\prod A_i^{k_i}$に$\overline{K}$-同型であるならば、$H_{\ell}(A) \cong \prod H_{\ell}(A_i)$が成り立ち、$A$に対してムーディ・テイト予想が成立することを示す。
• 定理4.7は、$A_1$がタイプI、II、またはIIIで$A_2$がタイプIVであり、両者とも相対次元が奇数で非同型であるとき、特徴が0のとき、$H_{\ell}(A_1 \times A_2) \cong H_{\ell}(A_1) \times H_{\ell}(A_2)$が成り立つことを証明する。
• 正の特徴において、定理5.7および5.9は類似の仮定のもとで同様の結果を提供し、相対次元および非同型性の条件の下で積の分解が成立することを示す。
• 自己準同型代数が$\operatorname{End}_{\overline{K}}(A_1) = \mathbb{Z}$である次元4のアーベル多様体$A_1$に対して、同型写像の議論によりランクの矛盾を排除することで、すべての$\ell$に対して$H_{\ell}(A_1 \times A_2) \cong H_{\ell}(A_1) \times H_{\ell}(A_2)$が成り立つことを示す。
• 本稿は、$\overline{K}$-同型に絶対単純因子の積に分解可能で、因子が互いに非同型であるような、複素数体の有限生成部分体上の次元$\leq 5$のすべてのアーベル多様体に対して、ムーディ・テイト予想を確認する。