[論文レビュー] On the equation of state of a flat FRW model filled with a bulk viscous fluid

José Antonio Belinchón|ArXiv.org|Dec 19, 2004

Arctic and Antarctic ice dynamics参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、Lie群の対称性解析を用いて、体積粘性流体で満たされた平坦なフレリッドマン＝ロバートソン＝ウォーカー（FRW）宇宙の状態方程式を決定する。場の運動方程式がスケーリング不変性を示すのは、粘性パラメータγ = 1/2のときのみであり、このときエネルギー密度ρに比例して体積粘性圧Πが線形に変化するべきであることが示される。Π = κρ（κ < 0）という仮定は、γ = 1/2を意味するわけではないが、スケーリング不変性を保証するのは唯一γ = 1/2のときである。

ABSTRACT

In this paper, we study the equation of state admissible for a flat FRW models filled with a bulk viscous fluid by using the Lie group method. It is founded that the model admits scaling symmetries iff the bulk viscous parameter $γ=1/2$. In this case, it is found that the main quantities follow a power law solution and in particular the bulk viscous pressure $Π$ has the same order of magnitude as the energy density $ρ,$ in such a way that it is possible to formulate the equation of state $Π=\varkappa ρ,$ where $\varkappa \in \mathbb{R}^{-}$ (i.e. is a negative numerical constant)$.$ If we assume such relationship we find again that the model is scale invariant iff $γ=1/2.$ We conclude that the model accepts a scaling symmetry iff $γ=1/2$ and that for this value of the viscous parameter, $Π=\varkappa ρ,$ but the hypothesis $Π=\varkappa ρ$ does not imply $γ=1/2,$ and that the model is scale invariant.

研究の動機と目的

• 対称性手法を用いて、体積粘性流体で満たされた平坦なFRWモデルの許容される状態方程式を特定すること。
• 場の運動方程式がスケーリング変換に対して不変である条件を調査すること。
• Π = κρ（κ ∈ ℝ⁻）という仮定が、スケーリング不変性を示すことを示すのか、あるいは特定の粘性パラメータ値を必要とするのかを検討すること。
• Lie群解析の結果と次元解析の結果を比較し、対称性に基づく結論を検証すること。

提案手法

• 体積粘性流体を有する平坦なFRWモデルの場の運動方程式を定式化し、エネルギー密度ρ、熱力学的圧力p、粘性圧Πを含む。
• 事前の仮定なしに、HubbleパラメータH(t)を記述する2階常微分方程式（ODE）を導出する。
• ODEの対称性を解析するため、Lie群法を適用し、スケーリング対称性が成立する条件を同定する。
• スケーリング不変性との整合性を検証するため、ansatz Π = κρ（κ < 0）を導入し、明示的解を導出する。
• 次元解析（Π定理）を補助的に用いて、べき乗則解を再構成し、対称性の結果を確認する。
• 次元解析による変数変換を実施し、ODEを簡略化し、陰的解を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 体積粘性流体を有する平坦なFRWモデルの場の運動方程式が、粘性パラメータγのどの値に対してスケーリング不変性を示すか？
• RQ2 Π = κρ（κ ∈ ℝ⁻）という関係は、モデルのスケーリング不変性の結果として導かれるか？
• RQ3 Π = κρという仮定は、モデルがスケーリング不変であることを示唆するのか、それともγとは独立した条件か？
• RQ4 Lie群解析の結果と次元解析の結果は、対称性および解構造の観点でどのように比較できるか？
• RQ5 スケーリング不変性の条件下で導かれるべきべき乗則解の明示的形は何か？

主な発見

• 体積粘性流体を有する平坦なFRWモデルの場の運動方程式は、粘性パラメータγ = 1/2のときかつそのときのみスケーリング不変性を示す。
• γ = 1/2のとき、モデルは体積粘性圧Πとエネルギー密度ρが同程度のオーダーにあり、べき乗則解を示す。
• γ = 1/2のとき、状態方程式Π = κρが導かれるが、κは負の実定数であり、スケーリング不変性と整合的である。
• Π = κρという仮定はスケーリング不変性を示さない。このような不変性は唯一γ = 1/2のとき成立する。
• 次元解析により、同一のべき乗則解と対称性構造が確認され、Lie群の結果が検証された。
• Π = κρという仮定のもとでは、すべてのγに対して場の運動方程式の完全解が得られるが、スケーリング不変性はγ = 1/2に限定される。