[論文レビュー] On the Erd\H{o}s Covering Problem: the density of the uncovered set

Paul Balister, Béla Bollobás+3 more|arXiv (Cornell University)|Nov 8, 2018

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、整数被覆における未被覆集合の密度を制限するための新しい手法を導入することで、長年の予想を解決する。モジュラスが十分に大きく、特定の乗法的関数 μ を含む重み付き逆数和条件を満たす場合、未被覆密度は $ e^{-4C}/2 $ で下から抑えられることを示し、1967年のシュインツェルの予想を証明するとともに、エドーシュ＝グラハム型の境界を最適な条件下で精緻化する。

ABSTRACT

Since their introduction by Erd\\H{o}s in 1950, covering systems (that is, finite collections of arithmetic progressions that cover the integers) have been extensively studied, and numerous questions and conjectures have been posed regarding the existence of covering systems with various properties. In particular, Erd\\H{o}s asked if the moduli can be distinct and all arbitrarily large, Erd\\H{o}s and Selfridge asked if the moduli can be distinct and all odd, and Schinzel conjectured that in any covering system there exists a pair of moduli, one of which divides the other. Another beautiful conjecture, proposed by Erd\\H{o}s and Graham in 1980, states that if the moduli are distinct elements of the interval $[n,Cn]$, and $n$ is sufficiently large, then the density of integers uncovered by the union is bounded below by a constant (depending only on $C$). This conjecture was confirmed (in a strong form) by Filaseta, Ford, Konyagin, Pomerance and Yu in 2007, who moreover asked whether the same conclusion holds if the moduli are distinct and sufficiently large, and $\\sum_{i=1}^k \\frac{1}{d_i} < C$. Although this condition turns out not to be sufficiently strong to imply the desired conclusion, as the main result of this paper we will give an essentially best possible condition which is sufficient. Our method has a number of further applications. Most importantly, we prove the conjecture of Schinzel stated above, which was made in 1967. We moreover give an alternative (somewhat simpler) proof of a breakthrough result of Hough, who resolved Erd\\H{o}s' minimum modulus problem, with an improved bound on the smallest difference. Finally, we make further progress on the problem of Erd\\H{o}s and Selfridge.

研究の動機と目的

• 異なるモジュラスを持つ被覆系において、あるモジュラスが他のモジュラスを割り切ることを示すシュインツェルの1967年予想を解決すること。
• 被覆系における未被覆集合の密度に正の下界を保証するためのモジュラスの最適な条件を特定すること。
• エドーシュ＝グラハム予想を改善し、$ \sum \mu(d)/d $ の重み付き和に関する条件を同定することで、未被覆密度に一様な下界を保証すること。
• 被覆系における未被覆集合の密度を分析するための簡潔で強力な手法を提供すること。この手法は、複数の長年の問題に適用可能である。

提案手法

• ネストされた剰余環上に、適切に選ばれた大きな素数を各段階で用いた、算術的等差数列の再帰的木構造を構築する。
• モジュラスに重みを付けるために乗法的関数 $ \mu(p^i) = 1 + (\log p)^{3+\varepsilon}/p $ を定義し、$ \sum \mu(d)/d \leq C $ を満たすとともに、未被覆密度を制御する。
• 素数に関する積の推定を用いた確率的評価により、未被覆集合の密度が $ e^{(2-t)n} $ のように減少することを示し、深さ $ n \to \infty $ の下で0に近づくことを、制御された条件下で示す。
• 包含除算法とオイラー積の推定を用いて、構築の各段階における未被覆剰余の密度を評価する。
• 合計 $ \sum \mu(d)/d \leq 2t^2 $ を確立し、$ t \in (1, e) $ とすることで、任意の $ C $ に対して条件を満たすことを保証し、最終的な境界 $ e^{-4C}/2 $ を導出する。
• ホウの最小モジュラス問題に対する手法を適応・簡略化し、密度および除法的構造に関するより強い結論を得られるようにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特定の乗法的関数 $ \mu $ に対して、$ \sum \mu(d)/d \leq C $ のみによって、被覆系における未被覆集合の密度に下界を保証できるか？
• RQ2 すべてのモジュラスが異なる被覆系において、あるモジュラスが他のモジュラスを割り切るペアが存在するか（シュインツェルの予想）？
• RQ3 被覆系のモジュラスが $[n, Cn]$ の範囲にある場合、エドーシュ＝グラハムの条件が、未被覆密度に正の下界を保証するのに必要かつ十分であるか？
• RQ4 最小モジュラス問題を解くために用いられた手法を、未被覆集合の密度に関するより強い境界を得るために適応できるか？
• RQ5 被覆系のモジュラスに、未被覆集合の密度に一様な下界を保証するための最適な条件は何か？

主な発見

• この論文はシュインツェルの予想を証明した：すべての異なるモジュラスを持つ被覆系において、あるモジュラスが他のモジュラスを割り切る。
• すべてのモジュラスが十分に大きく、$ \sum \mu(d)/d \leq C $ を満たす場合、未被覆集合の密度に鋭い下界 $ e^{-4C}/2 $ が成立することを確立した。ここで $ \mu(p^i) = 1 + (\log p)^{3+\varepsilon}/p $ である。
• 任意に大きなモジュラスと $ \sum 1/d_i < 1 $ を満たすが、未被覆密度が0に近づく被覆系の列を構成した。これにより、逆数和条件のみでは不十分であることが示された。
• もし $ \mu(p^i) $ が $ 1 + O(1/p) $ に置き換えられると、$ C $ のみに依存するような下界は存在しないことを示し、関数選択の鋭さを実証した。
• ホウの最小モジュラス問題における画期的結果の簡潔な証明を提供し、異なるモジュラスを持つ被覆系における最小モジュラスの境界を改善した。
• このアプローチにより、エドーシュ＝セルフリッジ問題において新たな進展が得られ、モジュラスが大きくかつ重み付き逆数和が有界である場合、被覆系におけるモジュラスの構造は非常に制限されていることが示された。