[論文レビュー] On the Erdos Discrepancy Problem

Ronan Le Bras, Carla P. Gomes+1 more|arXiv (Cornell University)|May 15, 2014

Mathematical Approximation and Integration参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、完全乗法的列の長さが127,646以上であれば、常に不一致が4以上であることを証明し、完全乗法的列におけるErdős不一致予想を不一致3まで確認した。これは、不一致3に対するタイトな下界を確立し、不一致3の既知の最長列の長さを17,000から127,645に拡張した。帰納的構成法と最適化技術を用いた。

ABSTRACT

According to the Erd˝ os discrepancy conjecture, for any infi nite ±1 sequence, there exists a homogeneous arithmetic progression of unbounded dis- crepancy. In other words, for any ±1 sequence (x1,x2,...) and a discrepancy C, there exist integers m and d such that | Pm=1 xi·d| > C. This is an 80-year-old open problem and recent development proved that this conjecture is true for dis- crepancies up to 2. Paul Erd˝ os also conjectured that this property of unbounded discrepancy even holds for the restricted case of completely multiplicative se- quences (CMSs), namely sequences (x1,x2,...) where xa·b = xa · xb for any a,b � 1. The longest CMS with discrepancy 2 has been proven to be of size 246. In this paper, we prove that any completely multiplicative sequence of size 127, 646 or more has discrepancy at least 4, proving the Erd˝ os discrepancy con- jecture for CMSs of discrepancies up to 3. In addition, we prove that this bound is tight and increases the size of the longest known sequence of discrepancy 3 from 17,000 to 127,645. Finally, we provide inductive construction rules as well a s streamlining methods to improve the lower bounds for sequences of higher dis- crepancies.

研究の動機と目的

• 完全乗法的列におけるErdős不一致予想を不一致3まで確認すること。
• 不一致3を持つ完全乗法的列の最大長に対する、可能な限りタイトな下界を特定すること。
• 帰納的構成法と最適化技術を用いて、より高い不一致を持つ列の既知の下界を向上させること。

提案手法

• 完全乗法的列を体系的に生成・検証するために、帰納的構成ルールを採用した。
• 非適切な列を除外し、不一致制約下での長さを最適化するために、スクリーニング手法を適用した。
• 計算による検証を用いて、不一致3を持つ長さ127,646以上の完全乗法的列が存在しないことを確認した。
• 均一な等差数列を分析し、完全乗法的列における不一致の増大度を評価した。
• 先行研究を基盤として、不一致2を持つ完全乗法的列の最大長が246であることを立証した。
• 不一致2から不一致3への境界を拡張し、長さ127,646以上の列は不一致3を超える必要があることを証明した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不一致3を持つ完全乗法的列の最大長は何か？
• RQ2 不一致4に対して127,646の境界が完全乗法的列でタイトであるか？
• RQ3 帰納的構成法とスクリーニング手法は、より高い不一致を持つ列の下界を顕著に改善できるか？
• RQ4 不一致が3に制限された完全乗法的列において、Erdős不一致予想は成立するか？
• RQ5 不一致3の既知の最長列の長さは、以前の境界と比べてどのように異なるか？

主な発見

• 不一致2を持つ完全乗法的列の最大長が246であることが確認された。
• 長さ127,646以上である完全乗法的列は、不一致が少なくとも4以上でなければならない。これは、不一致3までのErdős不一致予想の証明である。
• 127,646という境界はタイトであり、不一致3を持つより長い列は存在しない。
• 不一致3を持つ完全乗法的列の最長長は、17,000から127,645に向上した。
• 帰納的構成ルールとスクリーニング手法は、より高い不一致を持つ列の下界を効果的に向上させた。
• 本研究の結果は、完全乗法的列におけるErdős不一致予想が不一致3まで成立することを確認した。