[論文レビュー] On the exceptional set for absolute continuity of Bernoulli convolutions

Pablo Shmerkin|arXiv (Cornell University)|Mar 16, 2013

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、ベルヌーイ畳み込みが特異的であるような例外的パラメータ λ ∈ (1/2, 1) の集合がゼロ次元のハウスドルフ次元を持つことを証明し、偏りのあるベルヌーイ畳み込みおよび同次自己相似測度の畳み込みへとその結果を拡張する。証明は自己相似測度のフーリエ減衰、畳み込みの次元に関する結果、および、フル次元の測度とべき乗のフーリエ減衰を示す測度を分離する新規な畳み込み分解に依拠しており、超臨界的領域における絶対連続性の例外的集合がゼロ次元であることを導く。

ABSTRACT

We prove that the set of exceptional $λ\in (1/2,1)$ such that the associated Bernoulli convolution is singular has zero Hausdorff dimension, and likewise for biased Bernoulli convolutions, with the exceptional set independent of the bias. This improves previous results by Erdös, Kahane, Solomyak, Peres and Schlag, and Hochman. A theorem of this kind is also obtained for convolutions of homogeneous self-similar measures. The proofs are very short, and rely on old and new results on the dimensions of self-similar measures and their convolutions, and the decay of their Fourier transform.

研究の動機と目的

• ベルヌーイ畳み込みが絶対連続ではなく特異的であるようなパラメータ λ ∈ (1/2, 1) の集合の大きさを特定すること。
• この結果を偏りのあるベルヌーイ畳み込みおよび同次自己相似測度の畳み込みへと拡張し、偏りや測度構造にかかわらず例外的集合がゼロ次元のままであることを示すこと。
• 自己相似次元 > 1 である超臨界的領域において、特異的測度を生成するパラメータの集合がゼロ次元のハウスドルフ次元を持つことを確立し、従来の結果（例外的集合がフル次元または正の次元）を改善すること。
• 自己相似測度における次元とフーリエ減衰に関する既存の結果を統合・簡略化するため、異なる力学的挙動を分離する畳み込み分解を構築すること。

提案手法

• ベルヌーイ畳み込みを、ゼロ次元の例外的集合を除いてフルハウスドルフ次元を持つ測度と、ゼロ次元の例外的集合を除いてべき乗のフーリエ減衰を示す測度との畳み込みに分解する。
• 超臨界的領域における自己相似測度の次元に関する既知の結果を用い、測度の次元がゼロ次元の例外的集合を除いて 1（すなわちフル次元）に等しいことを示す。
• エドシとカハーネにさかのぼる古典的な自己相似測度のフーリエ減衰に関する結果を活用し、収縮比のゼロ次元の集合を除いてフーリエ変換がべき乗の速度で減衰することを示す。
• 畳み込み構造の議論を適用する：μ * ν が絶対連続であり、μ がフル次元であれば、適切な条件下で μ * ν が絶対連続性を継承する。これは Lemma 2.1 で形式化されている。
• 次元とフーリエ減衰の両方における例外的集合がゼロ次元であり、代数的演算（例えば λ ↦ λ^k）に関して閉じていることから、k に関するその和集合も依然としてゼロ次元であることを用いる。
• 解析的依存性を有する IFS のパrametrized 群族に関する定理 3.1 を適用し、パrameter空間において次元の結果がゼロ次元の例外的集合を除いて成り立つことを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ベルヌーイ畳み込みが特異的であるようなパラメータ λ ∈ (1/2, 1) の集合のハウスドルフ次元は何か？
• RQ2 偏りのあるベルヌーイ畳み込みにおける絶対連続性の例外的集合が、偏りに依存せずゼロ次元のハウスドルフ次元を持つことを示せるか？
• RQ3 同次自己相似測度の畳み込みにおいて、絶対連続性の例外的集合はパラメータに関してゼロ次元のハウスドルフ次元を持つだろうか？
• RQ4 畳み込みおよびフーリエ減衰技術を用いて、超臨界的領域における絶対連続性の例外的集合を、従来のフル次元または正の次元からゼロ次元にまで縮小できるか？

主な発見

• ベルヌーイ畳み込みが特異的であるような λ ∈ (1/2, 1) の集合のハウスドルフ次元はゼロである。
• 偏りのあるベルヌーイ畳み込みにおいて、特異的測度を生成するパラメータの例外的集合は偏りに依存せず、ゼロ次元のハウスドルフ次元を持つ。
• 同次自己相似測度の畳み込みにおける絶対連続性の例外的集合も、測度が同一でない場合でさえも、ゼロ次元のハウスドルフ次元を持つ。
• 証明は、フル次元の測度とべき乗のフーリエ減衰を示す測度との畳み込みに測度を分解することに依拠しており、両方の測度がゼロ次元の例外的集合を除いて良好に振る舞う。
• この結果は、自己相似次元 > 1 である超臨界的領域のすべてのパラメータにおいて一様に成り立ち、例外的集合は可算個のゼロ次元集合の和集合として表されるため、自体がゼロ次元である。