[論文レビュー] On the Existence of Absolutely Maximally Entangled States of Minimal Support

Antonio Bernal|arXiv (Cornell University)|Mar 19, 2016

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 8被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、局所次元5の7キュービットの絶対的に最大にエンタングルされた（AME）状態が、最小サポートをもつものとして存在しないことを証明し、AME存在問題における重要なケースを解決している。最近得られた非線形MDS符号と線形符号の間の関係を用いて、d ≥ ⌈n/2⌉ + 1 であることが必要な条件であるが、それだけでは十分でないことが示された。AME(7,5)状態はこの境界を満たしているが、存在しない。

ABSTRACT

In this paper we prove that no absolutely maximally entangled, AME, state with minimal support exists with 7 sites and 5 levels. General AME states are pure multipartite states that, when reduced to half or less of the sites, the maximum entropy mixed state is obtained. They have found applications in teleportation and quantum secret sharing, and finding conditions for their existence is a well known open problem. We consider the version of this problem for minimally supported AME states. We single out known both sufficient and necessary conditions in that case. From our negative result, we show that the necessary condition is not sufficient. The proof uses a recent result on the theory of general, nonlinear, classical codes.

研究の動機と目的

• 多粒子量子系における最小サポートをもつ絶対的に最大にエンタングルされた（AME）状態の存在条件を特定すること。
• AME(n,d)状態の最小サポートに対して既知の必要条件d ≥ ⌈n/2⌉ + 1 が十分条件であるかどうかを調査すること。
• 最小サポートをもつAME(7,5)状態の存在問題を解決すること。
• 最近の古典的符号理論の進展を、特に非線形MDS符号と線形符号の関係を用いて、量子情報問題に応用すること。

提案手法

• 論文の定理1を用いて、最小サポートをもつAME状態と特定のパラメータをもつ最大距離分離（MDS）符号との等価性を確立した。
• GF(5)上での長さ7、次元3の線形MDS符号が存在しないという既知の境界L₅(3) = 6を用いた。
• 文献[5]の最近の結果を適用した。この結果は、アルファベットサイズ5、最小距離≥3、サイズ5^kの任意のMDS符号は、座標の置換と記号の置換によって線形MDS符号に変換可能であるというものである。
• GF(5)上での長さ7、次元3の線形MDS符号が存在しないことと、上記の変換結果を組み合わせることで、同じパラメータを持つ非線形MDS符号が存在しないことを証明した。
• AME状態とMDS符号の双対性を用いて、符号理論的結果を量子情報的結果に翻訳した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最小サポートをもつAME(7,5)状態は存在するか？
• RQ2 AME(n,d)状態の最小サポートに対して、d ≥ ⌈n/2⌉ + 1 であることが必要条件であるが、十分条件であるか？
• RQ3 非素数冪のアルファベット上での非線形MDS符号は、置換変換によって線形符号に還元可能か？
• RQ4 与えられた局所次元dに対して、最小サポートをもつAME状態が存在する最大のクオンチング数N(d)は何か？

主な発見

• 長さ7、次元3、最小距離5のGF(5)上での対応するMDS符号が存在しないことの証明により、最小サポートをもつAME(7,5)状態は存在しないことが示された。
• 必要条件d ≥ ⌈n/2⌉ + 1 が十分でないことが判明した。AME(7,5)はこの条件を満たしているが、存在しない。
• 局所次元d=5に対して、最小サポートをもつAME状態が存在するクオンチング数の最大値N(5)は6である。これはd=5のときの上界2d−2=8と矛盾する。
• 文献[5]の変換結果を用いて、GF(5)上での次元3の線形MDS符号に対する境界L₅(3) = 6が、非線形MDS符号に対しても拡張可能であることが確認された。
• dが素数冪であるとき、AME(n,d)状態の最小サポートの存在は、GF(d)上でのパラメータ[n, ⌊n/2⌋, ⌈n/2⌉ + 1]をもつMDS符号の存在と同値である。