[論文レビュー] On the existence of attractors

Christian Bonatti, Ming Li+1 more|ArXiv.org|Apr 28, 2009

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 15被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、任意のコンpakトな3次元多様体に対して、微分同相写像の空間内に$C^1$-開集合が存在し、その中での$C^r$-一般の微分同相写像は、トポロジカルな吸引域——トポロジカル的軌道的吸引域でも、鎖的再帰的吸引域でもない——をもたないことを示している。著者らは、有限個の準吸引域をもつ例を構成し、一般の力学系において、標準的な吸引域の概念があまりに制限的であることを主張し、代わりに$C^1$-一般系に対してより適切な代替概念として「残渣的吸引域（residual attractors）」を提唱している。

ABSTRACT

On every compact 3-manifold, we build a non-empty open set $\cU$ of $\Diff^1(M)$ such that, for every $r\geq 1$, every $C^r$-generic diffeomorphism $f\in\cU\cap \Diff^r(M)$ has no topological attractors. On higher dimensional manifolds, one may require that $f$ has neither topological attractors nor topological repellers. Our examples have finitely many quasi attractors. For flows, we may require that these quasi attractors contain singular points. Finally we discuss alternative definitions of attractors which may be better adapted to generic dynamics.

研究の動機と目的

• コンパクト多様体上の$C^r$-一般の微分同相写像が少なくとも1つのトポロジカルな吸引域をもつという長年の予想に挑戦すること。
• 高次元において、特に一般の力学系に対して、古典的なトポロジカル吸引域の定義があまりに制限的であることを示すこと。
• 「残渣的吸引域」と呼ばれる新たな吸引域の概念を導入・形式化すること——これは、近傍内で一般の点を引きつける鎖的再帰的集合であり、正の測度の吸引域をもち、Lebesgue測度の意味で最小である——$C^1$-一般力学系に適した代替概念としての妥当性を示すこと。
• $C^1$-一般の微分同相写像において、残渣的吸引域が存在し、それらの吸引域が多様体の残渣的部分集合をなすことを示すこと。これは、一般の漸近的挙動を理解するための新しい枠組みを示唆する。

提案手法

• 任意のコンパクトな3次元多様体$M$に対して、$\mathcal{U} \subset \mathrm{Diff}^1(M)$を$C^1$-開集合として構成し、$\mathcal{U}$内の$C^r$-一般の微分同相写像がトポロジカルな吸引域を持たないことを示すこと。
• 弱い意味で吸引的であるが、必ずしも分解不能ではないコンパクトな不変集合である「準吸引域（quasi-attractors）」を用いて、有限個のこのような集合を持つ例を構成し、それらがすべてトポロジカル吸引域の条件を満たさない（軌道的非連結性または鎖的再帰性の欠如）ことを示すこと。
• 近傍内で一般の点を引きつける鎖的再帰的集合として、新たな吸引域のクラス「残渣的吸引域（residual attractors）」を定義し、その吸引域が正の測度をもち、Lebesgue測度の意味で最小であることを示すこと。
• $C^1$-一般の微分同相写像において、残渣的吸引域が孤立した準吸引域と一致し、特定の双曲性仮定の下では周期軌道のホモクラインクラスと正確に一致することを示すこと。
• $C^1$-一般力学系の結果、特に[BC]、[MP]、[Y]の研究を活用し、$C^1$-一般系において残渣的吸引域が存在し、かつ可算個であることを示すこと。
• $C^1$-位相において、残渣的吸引域の吸引域の和集合が多様体の残渣的部分集合であることを証明し、一般の軌道がこのような吸引域に収束することを示唆すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトな3次元多様体上の$C^1$-一般の微分同相写像は、少なくとも1つのトポロジカルな吸引域をもつか？
• RQ2 古典的なトポロジカル吸引域の概念は、一般の力学的挙動を記述する上であまりに制限的ではないか？
• RQ3 より強固で一般性の高い吸引域の定義を、$C^1$-一般力学系に適合させる形で形式化できるか？
• RQ4 「孤立した鎖的再帰的集合であり、一般の点の吸引域を持つ」こととして定義される残渣的吸引域は、$C^1$-一般系においてホモクラインクラスと同値であるか？
• RQ5 $C^1$-一般系において、残渣的吸引域の吸引域の和集合は多様体の残渣的部分集合を覆うか？

主な発見

• 任意のコンパクトな3次元多様体に対して、$C^1$-開集合$\mathcal{U} \subset \mathrm{Diff}^1(M)$が存在し、$\mathcal{U}$内の$C^r$-一般の微分同相写像はトポロジカルな吸引域を持たない。
• 構築された例では有限個の準吸引域を持つが、いずれの集合も軌道的非連結性または鎖的再帰性の条件を満たさないため、トポロジカルな吸引域ではない。
• $C^1$-一般系において、残渣的吸引域が存在し、それらは正確に孤立した準吸引域と一致し、その吸引域は多様体の残渣的部分集合をなす。
• $C^1$-一般の微分同相写像において、局所的残渣的吸引域の吸引域の和集合は$M$の残渣的部分集合である。これは、一般の軌道がこのような吸引域に収束することを示唆する。
• $C^1$-位相において、部分的双曲的分解が1次元中心 bundle をもつ系では、任意の準吸引域がホモクラインクラスである。
• 本稿では、$C^1$-一般の微分同相写像において、ミルナーが定義した「局所的残渣的吸引域」の概念と、本研究で定義された残渣的吸引域が一致することを証明しており、このような吸引域が存在し、かつ可算個であることを示している。