[論文レビュー] On the existence of conic Kahler-Einstein metrics

Gang Tian, Feng Wang|arXiv (Cornell University)|Mar 29, 2019

Geometry and complex manifolds参考文献 18被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、対数K-多様体における対数K-多様体の半安定性のもとで、滑らかでない対数的除法子の存在を克服するための変分近似法を用いて、対数ケーラー＝アインシュタイン計量の存在を確立する。主な結果は、対数ケーラー＝アインシュタイン計量の対数K安定性条件の逆を確認し、ヤウ＝ティアン＝ドナルドソン予想を複数の除法子および一般の錐角を含む錐状設定に拡張する。

ABSTRACT

In this paper, we prove the conic version of YTD conjecture on log Fano manifolds.

研究の動機と目的

• 対数Fano多様体に複数の除法子および一般の錐角をもつ対数ケーラー＝アインシュタイン計量の存在を証明すること。
• 対数ケーラー＝アインシュタイン計量の対数K-多様体安定性条件の逆を確立し、ヤウ＝ティアン＝ドナルドソン予想を錐状ケースに一般化すること。
• 対数的計量近似における非半アーマブル除法子の技術的困難を、連続法の代わりに変分法を用いることで克服すること。
• 部分的 $C^0$ 評価を錐状設定に拡張し、近似計量の特異極限にチーガー＝コールディング理論を適用すること。
• log Futaki不変量が対数K-多様体安定性のもとで消えることを示し、対数的ケーラー＝アインシュタイン方程式の解の存在を保証すること。

提案手法

• 除法子の半アーマブル性に依存しないように、リッチ曲率が下から有界な滑らかな計量族による対数ケーラー＝アインシュタイン計量の近似を試みる。
• 連続法とは異なり、変分法を用いて対数ケーラー＝アインシュタイン方程式を満たす計量の列を構成する。
• チーガー＝コールディングおよびチーガー＝コールディング＝ティアン理論を用いて、近似計量のグロモフ＝ハウスドルフ極限を分析する。
• 非一様な錐角が $2\beta_i$ に近づく場合（$2\beta_i \to 2\pi$ ではない）でも、ティアンの先行研究の技術を適応して、錐状設定における部分的 $C^0$ 評価を確立する。
• 一パrameter族の計量 $\omega_s$ を用い、関数 $\int_M X(f_s) \omega_s^n$ の時間発展を分析し、それが $s$ に関して一定であることを示し、これにより対数的ケーラー＝アインシュタイン方程式の解の存在を示す。
• 関数の定数性と $s=1$ における極限の消滅を用いて、対数K-多様体安定性のもとでlog Futaki不変量が消えることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対数K-多様体安定性は、対数Fano多様体における各除法子 $D_i$ 沿いに $2\pi\beta^i$ の錐角をもつ対数ケーラー＝アインシュタイン計量の存在を示唆するか？
• RQ2 対数的除法子が半アーマブルでない場合、連続法の代わりに変分的アプローチを用いることは可能か？
• RQ3 錐角が $2\pi$ に近づかない場合、錐状設定における部分的 $C^0$ 評価をどのように適応することができるか？
• RQ4 log Futaki不変量は対数ケーラー＝アインシュタイン計量の存在にどのように関与し、対数K-多様体安定性のもとでなぜ消えるのか？
• RQ5 近似計量のグロモフ＝ハウスドルフ極限が弱い意味での対数ケーラー＝アインシュタイン計量を回復できるか？ そして、これは存在結果にどのような意味を持つのか？

主な発見

• 主な結果は、$(M, \sum_{i=1}^k (1 - \beta^i) D_i)$ が対数K-多様体安定であるならば、各 $D_i$ 沿いに $2\pi\beta^i$ の角度をもつ対数ケーラー＝アインシュタイン計量が存在することを確認する。
• 半アーマブル性に依存しない変分法が、非半アーマブルな除法子の文脈で連続法の代わりに成功裏に機能し、近似計量の構成を可能にする。
• 錐角が $2\pi$ に近づかないという課題にもかかわらず、錐状設定における部分的 $C^0$ 評価が確立された。
• $\int_M X(f_s) \omega_s^n$ という関数が $s$ に関して一定であることが示され、これにより対数的ケーラー＝アインシュタイン方程式の解の存在が示される。
• 対数K-多様体安定性のもとでlog Futaki不変量が消えることが証明され、これは対数ケーラー＝アインシュタイン計量の存在に必要な条件であり、変分法によって十分条件であることも示された。
• 解は、計量が存在する $T \in [0,1]$ の集合 $I$ が開かつ閉であることを示すことにより得られ、$I = [0,1]$ であることが示され、$T=1$ における存在が保証される。