[論文レビュー] On the existence of $E_0$-semigroups

William Arveson|ArXiv.org|May 8, 2006

Advanced Operator Algebra Research参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、安定な断片とヒルベルト空間の完備化を用いて、任意の抽象的積系から $E_0$-semigroup の新しい初等的構成を与える。安定断片の空間を零断片で割った商空間上に表現を定義することにより、本質的表現を確立し、これにより $E_0$-semigroup を得る。この方法により、すべての積系に対して $E_0$-semigroup の存在を直接的かつ構成的手段で示した。

ABSTRACT

Product systems are the classifying structures for semigroups of endomorphisms of B(H), in that two $E_0$-semigroups are cocycle conjugate iff their product systems are isomorphic. Thus it is important to know that every abstract product system is associated with an $E_0$-semigrouop. This was first proved more than fifteen years ago by rather indirect methods. Recently, Skeide has given a more direct proof. In this note we give yet another proof by an elementary construction.

研究の動機と目的

• 任意の抽象的積系から、間接的な解析的手法を避けて直接的かつ初等的な $E_0$-semigroup の構成を提供すること。
• 安定断片から得られるヒルベルト空間上に本質的表現を構築することにより、すべての積系に対して $E_0$-semigroup の存在を確立すること。
• アーヴェソン（1990年）およびライブシャー（2003年）の先行証明、およびスキーデ（2006年）の最近の証明とは異なり、より単純で明確な方法を提供すること。
• 関連表現を明示的に構成することで、積系と $E_0$-semigroup の間の対応関係を明確にすること。

提案手法

• 積系 $E$ の安定的で局所 $L^2$ の断片の空間 $\mathcal{S}$ を定義する。ここで、$f(\lambda+1) = f(\lambda) \cdot e$ が十分大きな $\lambda$ に対して almost everywhere 成り立つ。
• 零断片の部分空間 $\mathcal{N}$ を用いて $\mathcal{S}/\mathcal{N}$ 上に内積を定義する。極限 $\langle f,g \rangle = \lim_{n \to \infty} \int_n^{n+1} \langle f(\lambda), g(\lambda) \rangle \, d\lambda$ を用いる。
• $\mathcal{S}/\mathcal{N}$ を可分ヒルベルト空間 $H$ に完備化し、これが表現の載体空間となる。
• 各 $t \geq 0$ に対して、$\lambda > t$ のとき $\phi_0(v)f(\lambda) = v \cdot f(\lambda - t)$、それ以外のときは 0 となるように、積系上の表現 $\phi$ を定義する。
• 任意の $E(1)$ の正規直交基底 $\{v_n\}$ に対して $\sum_n \phi(v_n)\phi(v_n)^* = \mathbf{1}_H$ が成り立つことを示し、これにより $\phi$ が本質的表現であることを証明する。この際、補題 2.4 を用いて射影の和に関する性質を示す。
• 本質的表現と $E_0$-semigroup の標準的対応関係を用いて、$\alpha_t(X) = \sum_n \phi(e_n(t)) X \phi(e_n(t))^*$ により積系 $E$ が $E_0$-semigroup を導くことを結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の抽象的積系は、直接的かつ初等的な構成により、$E_0$-semigroup の積系として実現可能か？
• RQ2 過去の証明で用いられた複雑な解析的手法を避けて、与えられた積系に対して $E_0$-semigroup を構成的につながる方法は存在するか？
• RQ3 安定断片のヒルベルト空間上に構成された表現は、本質的表現となるか？ これにより対応する $E_0$-semigroup の存在が保証されるか？
• RQ4 安定断片の構造とその漸近的挙動を用いて、非自明なヒルベルト空間へとつながる well-behaved 内積を定義できるか？

主な発見

• 構成により、$L^2((0,1];E)$ を等長的に含む非自明なヒルベルト空間 $H$ が得られ、$H$ が $\{0\}$ でないことを示した。
• $H$ 上に定義された表現 $\phi$ は、任意の $E(1)$ の正規直交基底 $\{v_n\}$ に対して $\sum_n \phi(v_n)\phi(v_n)^* = \mathbf{1}_H$ が成り立つことから、本質的表現であることが示された。
• 内積 $\mathcal{S}/\mathcal{N}$ 上で well-defined であり、補題 2.1 により断片の安定性のおかげで極限の基点の選び方に依存しないことが保証された。
• 補題 2.3 により、$\phi_0(v)$ の随伴は、ある零断片 $g$ を用いて $\phi_0(v)^*f(\lambda) = v^*f(\lambda + t) + g(\lambda)$ を満たすことが示された。
• $\xi \in E(t)$ および $E(s)$ の正規直交基底 $\{v_n\}$（$s < t$）に対して、$\sum_n \|v_n^*\xi\|^2 = \|\xi\|^2$ であることを、$E(t)$ を $E(s)E(t-s)$ に分解することで証明し、表現の本質性を確立した。
• 得られた $E_0$-semigroup は純粋ではない。構成法により、減少するフォンノイマン代数の交わりが自明でないため、純粋性に関する問題に対しては限界がある。