[論文レビュー] On the existence of non-hyperbolic ergodic measures as the limit of periodic measures

Christian Bonatti, Jinhua Zhang|arXiv (Cornell University)|Jun 20, 2016

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ホモクラインねじれがなく、ロバストに転送可能な微分同相写像およびロバストなサイクルを有する微分同相写像という2つのロバストな力学的設定において、双曲的周期測度の弱*極限として非双曲的エルゴード測度の存在を確立する。[G]のシャドーイング補題を用いて、力学系の摂動を行わずに中心リャプノフ指数が消える周期軌道を構成し、そのような非双曲的測度（全多様体またはコンパクトな不変集合に台を持つ）が周期軌道の極限として生じることを証明する。

ABSTRACT

[GIKN] and [BBD1] propose two very different ways for building non hyperbolic measures, [GIKN] building such a measure as the limit of periodic measures and [BBD1] as the $ω$-limit set of a single orbit, with a uniformly vanishing Lyapunov exponent. The technique in [GIKN] was essentially used in a generic setting, as the periodic orbits were built by small perturbations. It is not known if the measures obtained by the technique in [BBD1] are accumulated by periodic measures. In this paper we use a shadowing lemma from [G]: $\bullet$for getting the periodic orbits in [GIKN] without perturbing the dynamics, $\bullet$for recovering the compact set in [BBD1] with a uniformly vanishing Lyapunov exponent by considering the limit of periodic orbits. As a consequence, we prove that there exists an open and dense subset $\mathcal{U}$ of the set of robustly transitive non-hyperbolic diffeomorphisms far from homoclinic tangencies, such that for any $f\in\mathcal{U}$, there exists a non-hyperbolic ergodic measure with full support and approximated by hyperbolic periodic measures. We also prove that there exists an open and dense subset $\mathcal{V}$ of the set of diffeomorphisms exhibiting a robust cycle, such that for any $f\in\mathcal{V}$, there exists a non-hyperbolic ergodic measure approximated by hyperbolic periodic measures.

研究の動機と目的

• 非双曲的エルゴード測度が[BBD1]法により構成された（中心リャプノフ指数が消えるω極限集合としての）ものであるとき、それが周期測度によって近似可能かどうかという未解決問題を解消すること。
• 非双曲的エルゴード測度が[GIKN]基準により構成された（周期測度の弱*極限としての）ものであるとき、力学系の摂動なしにその実現が可能かどうかを示すこと。
• 2つの異なる非双曲的測度の構成法を統一し、開かつ稠密な幾何的条件下で、両方の構成法が双曲的周期測度の極限として実現可能であることを証明すること。
• このような非双曲的エルゴード測度が全支持を持ち、中心リャプノフ指数が消える周期軌道によって近似可能であることを確立すること。

提案手法

• [G]のシャドーイング補題を適用し、力学系の摂動なしにロバストなサイクルの近傍に周期軌道を構成する。
• [GIKN]基準（[BDG, Lemma 2.5]を介して）を用いて、周期測度の弱*極限がエルゴード的かつ非双曲的であることを保証する。
• 中心リャプノフ指数が指数関数的に0に収束する双曲的周期軌道の列を構成し、極限測度が非双曲的であることを保証する。
• [BBD1]の「任意のスケールで制御可能」基準を用いて、中心リャプノフ指数が消えるコンパクト不変集合を、周期軌道のハウスドルフ極限として回復する。
• リャプノフ指数関数の一様連続性および安定・不安定多様体の大きさの一様性を用いて、周期軌道間のホモクライン関係を保証する。
• 補題2.3を適用し、周期軌道上のディラック測度の収束を保証し、全支持を持つ非双曲的エルゴード測度が得られることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非双曲的エルゴード測度が[BBD1]のω極限集合法により構成された場合、それが周期測度によって近似可能か。
• RQ2 [GIKN]の周期軌道構成法は、シャドーイング技法を用いて力学系の摂動なしに実現可能か。
• RQ3 ロバストに転送可能で非双曲的である微分同相写像の開かつ稠密な部分集合において、全支持を持つ非双曲的エルゴード測度が周期測度の弱*極限として生じるか。
• RQ4 [BBD1]の中心リャプノフ指数が消えるコンパクト不変集合は、周期軌道のハウスドルフ極限として回復可能か。
• RQ5 中心リャプノフ指数が消える軌道に台を持つ周期測度の弱*極限測度は、同じコンパクト不変集合に台を持つエルゴード測度をもたらすか。

主な発見

• ホモクラインねじれがなく、ロバストに転送可能な非双曲的微分同相写像の開かつ稠密な部分集合𝒰が存在し、任意のf ∈ 𝒰に対して、全支持を持つ非双曲的エルゴード測度が、双曲的周期測度の弱*極限として存在する。
• ロバストなサイクルを有する微分同相写像の開かつ稠密な部分集合𝒱の任意のfに対して、非双曲的エルゴード測度が、双曲的周期測度の弱*極限として存在する。
• シャドーイング補題を用いて構成された周期軌道の列は、中心リャプノフ指数が指数関数的に0に収束するため、極限測度が非双曲的であることが保証される。
• 周期軌道のハウスドルフ極限は、[BBD1]の非双曲的エルゴード測度を支えるコンパクト不変集合K′_fを含む。
• 周期測度の任意の弱*極限測度は、K′_fに台を持つか、唯一の周期測度であるため、極限測度がエルゴード的かつ非双曲的であることが示される。
• 周期軌道のε_n-稠密近似（ε_n → 0）により、極限非双曲的エルゴード測度の台が全多様体Mに一致する。