[論文レビュー] On the existence of stable compact leaves for transversely holomorphic foliations

Bruno Scárdua|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2012

Geometry and complex manifolds参考文献 1被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、コンパクトな複素多様体上の横断的正則foliationが、コンパクトな葉（有限ホロノミーをもつ）をもつための必要十分条件を確立している。その条件は、コンパクトな葉の集合が正の測度をもつことである。測度論的議論とホロノミー群の解析を用いて、正の測度をもつコンパクトな葉の集合が存在すれば、有限ホロノミーをもつ葉が存在することを証明しており、リーブの安定性定理を正則的設定に拡張している。

ABSTRACT

A transversely holomorphic foliation on a compact complex manifold, exhibits a compact stable leaf if and only if the set of compact leaves is not a zero measure subset of the manifold.

研究の動機と目的

• コンパクトな複素多様体上の横断的正則foliationが安定なコンパクトな葉をもつための条件を特定すること。
• このようなfoliationにおけるコンパクトな葉の集合の測度論的構造を調査すること。
• 有限ホロノミーとコンパクトな葉の集合の正の測度との関係を用いて、リーブの局所安定性定理を正則的設定に拡張すること。
• ホロノミー群の力学的性質とその周期性が、コンパクトな葉の集合とどのように関係するかを分析すること。
• foliationが有限ホロノミーをもつコンパクトな葉をもつ、あるいはコンパクトな葉の集合が零測度である、という二分法を確立すること。

提案手法

• コンパクトな葉の集合を $\Omega(\mathcal{F})$ と定義し、それを環境多様体 $M$ 上で測度論的に分析する。
• 多様体 $M$ の有限被覆を、特徴的な横断的近傍 $T_j$ を用いて構成し、コンパクトな葉を有限交差数によって特徴付ける。
• 測度論的議論を適用する：$\mu(\Omega(\mathcal{F})) > 0$ ならば、ある $n$ に対して $\Omega(\mathcal{F}, T, n)$ が正の測度をもつ。
• 横断的円板 $\Sigma_p$ 上のホロノミーの芽 $h \in \operatorname{Hol}(\mathcal{F}, L_0, \Sigma_p, p)$ を分析する；周期点の正の測度集合が存在すれば、$h$ は有限位数をもつことを示す。
• ホロノミー写像の解析的性質を用いる：周期点の正の測度集合が存在すれば、写像は近傍上で恒等写像となり、したがって有限位数をもつ。
• バーンサイドの定理と線形群の周期的性質に関するシュールの結果を適用し、ホロノミー群が有限であることを結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトな複素多様体上の横断的正則foliationが、安定なコンパクトな葉をもつための条件は何か？
• RQ2 コンパクトな葉の正の測度集合の存在が、あるコンパクトな葉の有限ホロノミーを示唆できるか？
• RQ3 有限ホロノミーをもつコンパクトな葉の存在と、すべてのコンパクトな葉の集合の測度との間に、二分法が存在するか？
• RQ4 ホロノミー群の周期性が、正則foliationにおけるコンパクトな葉の幾何にどのように関係するか？
• RQ5 葉空間の測度論的構造が、コンパクトな葉のホロノミーをどの程度制約するか？

主な発見

• コンパクトな複素多様体上の横断的正則foliationが安定なコンパクトな葉をもつための必要十分条件は、コンパクトな葉の集合が正の測度をもつことである。
• コンパクトな葉の集合が正の測度をもつならば、すべての近傍の葉がコンパクトで有限ホロノミーをもつ、ある基本的飽和近傍系をもつコンパクトな葉 $L_0$ が存在する。
• このような葉 $L_0$ のホロノミー群は有限である。これは、各ホロノミーの芽が有界位数の周期的写像として作用することから示される。
• 証明はホロノミー写像の解析的性質に依存している：周期点の正の測度集合が存在すれば、その芽は恒等写像となり、有限位数をもつことが保証される。
• 複素多様体 $F$ 上に作用する微分同相写像の群 $G \subset \operatorname{Diff}(F)$ は、有限であるか、あるいは周期的軌道の集合は零測度である。
• この結果は、リーブの安定性定理を正則的設定に一般化しており、余次元1の滑らかさの仮定を、横断的正則性と測度論的条件に置き換えている。