[論文レビュー] On the Farrell-Jones and related Conjectures

Wolfgang Lueck|ArXiv.org|Oct 11, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 121被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、ファーリー＝ジョーンズ予想とバウム＝コンヌ予想について包括的な紹介を提供し、それらを、代数的・位相的K理論群を計算しにくいものから、より取り扱いやすいG-可換ホモロジー理論へと結びつけるアセンブリーマップを通じて、強力な道具として位置づけている。構造的および計算的意義を確立し、広範な群のクラスについてそれらを証明し、位相およびK理論における長年の予想へのその影響を強調している。

ABSTRACT

These extended notes are based on a series of six lectures presented at the summer school ``Cohomology of groups and algebraic $K$-theory'' which took place in Hangzhou, China from July 1 until July 12 in 2007. They give an introduction to the Farrell-Jones and the Baum-Connes Conjecture.

研究の動機と目的

• 代数的位相幾何学およびK理論の研究者を対象として、ファーリー＝ジョーンズ予想とバウム＝コンヌ予想について自己完結的な紹介を提供すること。
• 複雑なK理論およびL理論群と、計算可能なG-可換ホモロジー理論を結びつけるアセンブリーマップの役割を明確にすること。
• これらの予想がバース、ボレル、カプランスキー、ノヴィコフの古典的予想を統一的かつ包含的に示す仕組みを示すこと。
• 既知の証明と未解決のケースを調査し、分野の現在の最先端状況および未解決の課題に焦点を当てる。

提案手法

• ホモロジー代数およびCW複体を用いて、特に $K_0$、$K_1$、および負のK理論を定義・分析する。
• バース＝ヘラー＝スワン分解を適用し、群環 $RG$ における $K_*(RG)$ を $K_*(R)$ および $K_*(R[G])$ で表現する。
• 部分群の族の分類空間を導入し、ファーリー＝ジョーンズ予想におけるアセンブリーマップのターゲットを構成する。
• 両者の設定においてアセンブリーマップのフレームワークとして、G-可換ホモロジー理論を用いる。
• 制御された位相幾何学の技術——特に忘却制御写像および収縮写像のような幾何的構成——を用いて、ファーリー＝ジョーンズ予想における上への性質の証明を行う。
• バウム＝コンヌ予想におけるKK理論における解析的手法——特にディラック＝双対ディラック法——をレビューし、カスパロフの双不変KK理論を通じて特に扱う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ファーリー＝ジョーンズ予想とバウム＝コンヌ予想は、代数的位相幾何学およびK理論における古典的予想をどのように統一的かつ一般化するか？
• RQ2 アセンブリーマップは、複雑なK理論およびL理論群を、より扱いやすいG-可換ホモロジー理論へと結びつける役割を果たすか？
• RQ3 どの群のクラスについて、ファーリー＝ジョーンズ予想およびバウム＝コンヌ予想が証明されており、その証明で用いられた主な手法は何か？
• RQ4 バウム＝コンヌ予想はなぜファーリー＝ジョーンズ予想よりも疑わしいと見なされるのか、特に反例の可能性があるのか？
• RQ5 解析的手法がファーリー＝ジョーンズ予想を証明する際に抱える制限は何か？また、制御された位相幾何学の技術をKK理論へと移行する試みがまだ達成されていないのはなぜか？

主な発見

• ファーリー＝ジョーンズ予想は、双曲的群、CAT(0)群、および可解群について証明されており、$SL_n(\mathbb{Z})$ については $n \leq 2$ のときK理論的バージョンが知られている。
• バウム＝コンヌ予想は、双曲的群、$SL_n(\mathbb{Z})$（$n \leq 2$）、およびすべての可換群について成立が知られており、これらの場合は群の簡約C*-代数のK理論が計算可能である。
• これらの予想はボスト予想、カプランスキー零因子予想、ノヴィコフ予想を含むことが示され、幾何的位相幾何学における基礎的役割を果たしている。
• トンプソン群 $F$ については、$R = \mathbb{Z}$ のとき2を逆数にした後にアセンブリーマップの単射性が成り立つが、完全な予想は未解決のままである。
• 係数付きバウム＝コンヌ予想は、エクスパンダを備えた特定の群について、ヒグソン、ラフォルジュ、スカンダリスによって反例となることが示されたため、反例の可能性を示唆している。
• 広範な調査にもかかわらず、現在のところファーリー＝ジョーンズ予想やバウム＝コンヌ予想の反例とされる群はまだ知られておらず、その候補もまだ特定されていない。