[論文レビュー] On the finiteness of the classifying space for the family of virtually cyclic subgroups

Timm von Puttkamer, Xiaolei Wu|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2016

Geometric and Algebraic Topology参考文献 23被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、一関係式群、非縮退的双曲群、3次元多様体群、CAT(0)立方群など、多数の群に対して、その群が擬的に巡回でない限り、擬的に巡回部分群の族の分類空間に有限モデルが存在しないことを証明している。著者らは、このような群が有限モデルに必要なBVC（有界擬的に巡回）性質を満たさないことを、CAT(0)空間における移動長と、有限に支配される集合の幾何学的・代数的技法を用いて示している。

ABSTRACT

Given a group G, we consider its classifying space for the family of virtually cyclic subgroups. We show for many groups, including for example, one-relator groups, acylindrically hyperbolic groups, 3-manifold groups and CAT(0) cube groups, that they do not admit a finite model for this classifying space unless they are virtually cyclic. This settles a conjecture due to Juan-Pineda and Leary for these classes of groups.

研究の動機と目的

• Juan-PinedaとLearyによる、擬的に巡回部分群の族の分類空間の有限性に関する予想を解決すること。
• どの群のクラスが擬的に巡回部分群の族の分類空間に有限モデルを許容するかを特定すること。
• BVC（有界擬的に巡回）性質が、このような有限モデルに必要であることを確立すること。
• 主要な幾何的クラス（例：一関係式群、非縮退的双曲群、3次元多様体群、CAT(0)立方群）に属する擬的に巡回でない群がBVCを満たさないことを示すこと。
• 幾何群論のクラスにわたるBVCの体系的分析を行い、代数的有限性とCAT(0)空間への幾何的作用を結びつけること。

提案手法

• BVC性質の分析：すべての擬的に巡回部分群の共役を被覆する有限個の擬的に巡回部分群の集合。
• CAT(0)空間における移動長集合を用いて、有限に支配される部分集合を介してBVCの失敗を検出。
• 平坦トーラス定理を適用し、CAT(0)群に含まれるZ²部分群が、有限に支配されない移動長集合をもたらすことを示す。
• CAT(0)立方複体におけるランク1等長変換が、幾何的歪みを介してBVCの失敗をもたらすことを証明。
• HNN拡大と一関係式群の構造を用いて、擬的に巡回でない群がBVCを満たせないことを示す。
• 幾何群論の結果（例：Caprace-Sageev定理）を活用し、CAT(0)立方複体への作用を分類し、BVCの失敗を導出。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一関係式群は、擬的に巡回部分群の族の分類空間に有限モデルを許容するか？
• RQ2 非縮退的双曲群は、擬的に巡回部分群の族の分類空間に有限モデルを許容するか？
• RQ3 3次元多様体群は、擬的に巡回でない限り、擬的に巡回部分群の族の分類空間に有限モデルを許容するか？
• RQ4 CAT(0)立方群は、擬的に巡回でない限り、擬的に巡回部分群の族の分類空間に有限モデルを許容するか？
• RQ5 BVC性質は、有限生成群が擬的に巡回部分群の族の分類空間に有限モデルを許容するのに十分か？

主な発見

• 一関係式群は、擬的に巡回である場合に限り、擬的に巡回部分群の族の分類空間に有限モデルを許容する。
• 非縮退的双曲群は、擬的に巡回である場合に限り、擬的に巡回部分群の族の分類空間に有限モデルを許容する。
• 3次元多様体群は、擬的に巡回である場合に限り、擬的に巡回部分群の族の分類空間に有限モデルを許容する。
• CAT(0)立方群は、擬的に巡回である場合に限り、擬的に巡回部分群の族の分類空間に有限モデルを許容する。
• Z²部分群をもつ、またはランク1等長変換をもつCAT(0)空間に作用する群はBVC性質を満たさず、したがって有限モデルを許容しない。
• 研究対象のクラスに属する擬的に巡回でないすべての群がBVC性質を満たさないことが確認され、Juan-PinedaとLearyの予想がこれらの群に対して裏付けられた。