[論文レビュー] On the First Law of Thermodynamics for (2+1) Dimensional Charged BTZ Black Hole and Charged de Sitter Space

Alexis Larrañaga|ArXiv.org|Jul 16, 2007

Black Holes and Theoretical Physics被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、宇宙定数を熱力学的変数として扱うことにより、(2+1)次元の荷電BTZブラックホールおよび荷電ド・ジッター空間に対して、熱力学の第一法則を拡張する。AdS半径 $ l $ に対する一般化された力の共役を導入することで、一貫性のある微分形式および積分形式の第一法則が得られ、$ D=3 $ 時空におけるベケンシュタイン＝スマール質量公式の不整合性が解消される。

ABSTRACT

In this paper we will show that using the cosmological constant as a new thermodynamical state variable, the differential and integral mass formulas of the first law of thermodynamics for asymptotic flat spacetimes can be extended to (2+1) dimensional charged BTZ black holes and charged de Sitter space.

研究の動機と目的

• 荷電BTZブラックホールおよび荷電ド・ジッター空間の熱力学的第一法則を(2+1)次元に一般化すること。
• 荷電および宇宙定数を含む $ D=3 $ 時空に適用した場合のベケンシュタイン＝スマール質量公式の不整合を解消すること。
• 宇宙定数 $ \Lambda = -1/l^2 $（または $ +1/l^2 $）を熱力学的変数として導入し、第一法則の整合的な積分形式および微分形式を可能にすること。
• パラメータ $ l $ に対して共役する一般化された力 $ \Theta $ を導出し、両時空型における熱力学的整合性を保証すること。

提案手法

• エントロピー $ S $、電荷 $ Q $、AdS半径 $ l $ の関数として、荷電BTZブラックホールの質量式 $ M = \frac{S^2}{16\pi^2 l^2} - \frac{Q^2}{2} \ln\left(\frac{S}{4\pi l}\right) $ を導出する。
• 質量式から、温度 $ T = \partial M / \partial S \big|_{Q,l} $ および電気的ポテンシャル $ \Phi = \partial M / \partial Q \big|_{S,l} $ を計算する。
• パラメータ $ l $ の変動を用いて、宇宙定数を熱力学的変数として導入し、修正された微分法則 $ dM = TdS + \Phi dQ + \Theta dl $ を得る。
• BTZの場合の一般化された力 $ \Theta = \partial M / \partial l \big|_{S,Q} = -\frac{2S^2}{16\pi^2 l^3} + \frac{Q^2}{2l} $ およびド・ジッターの場合の $ -\frac{2S^2}{16\pi^2 l^3} - \frac{Q^2}{2l} $ を定義する。
• 熱力学的整合性を保つために、積分制約 $ TS + \Theta l = 0 $ を課す。
• 両時空型における微分形式および積分形式の一般化された第一法則の整合性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 宇宙定数を熱力学的変数として扱う場合、(2+1)次元の荷電BTZブラックホールに対して、熱力学の第一法則を一貫して拡張できるか？
• RQ2 宇宙定数を状態変数として含めた場合、$ D=3 $ 時空におけるベケンシュタイン＝スマール質量公式は成立するか？
• RQ3 AdS半径 $ l $ に対して共役する一般化された力 $ \Theta $ は、荷電BTZおよびド・ジッター時空における第一法則の熱力学的整合性にどのように影響するか？
• RQ4 $ l $ を変化可能とみなした場合、2+1次元の荷電ブラックホール時空における修正された微分形式および積分形式の第一法則の形は何か？
• RQ5 高次元ブラックホールの熱力学枠組みを、電荷および宇宙定数を有する低次元(2+1)ケースに一貫して適用できるか？

主な発見

• 微分形式の第一法則 $ dM = TdS + \Phi dQ + \Theta dl $ は、$ l $ を熱力学的変数として扱うことで、(2+1)次元の荷電BTZブラックホールに一貫して拡張される。
• 荷電BTZブラックホールの場合、一般化された力は $ \Theta = -\frac{2r_H^2}{l^3} + \frac{Q^2}{2l} $ であり、熱力学的整合性を保証する。
• 荷電BTZブラックホールでは、積分制約 $ TS + \Theta l = 0 $ が成立し、$ D=3 $ における一般化されたベケンシュタイン＝スマール公式の妥当性が裏付けられる。
• 荷電ド・ジッター空間では、一般化された力は $ \Theta = -\frac{2r_H^2}{l^3} - \frac{Q^2}{2l} $ であり、同様に積分制約 $ TS + \Theta l = 0 $ が満たされる。
• BTZでは $ M = \frac{1}{2}TS + \frac{1}{2}\Phi Q + \frac{1}{4}Q^2 $、ド・ジッターでは $ M = \frac{1}{2}TS + \frac{1}{2}\Phi Q - \frac{1}{4}Q^2 $ という質量式が $ \Theta dl $ 項の導入により修正され、ベケンシュタイン＝スマール枠組みとの整合性が回復する。
• 結果として、2+1次元においても、宇宙定数を一貫して熱力学的変数として扱うことができ、第一法則の適用範囲が漸近的に平坦な時空を超えて拡張されることを示している。