[論文レビュー] On the first time that an Ito process hits a barrier

Gerardo Hernández‐del‐Valle|arXiv (Cornell University)|Sep 10, 2012

Stochastic processes and financial applications参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、Burgers方程式の解を用いて局所的ドリフトをモデル化するイト過程の最初の到達時刻の明示的密度公式を導出する。特に、移動境界に到達する際のクラス $ olinebreak[4]\mathcal{B}^1$ の過程——例えば3次元Bessel過程やブラウン運動ブリッジ——に注目する。主な貢献は、ドリフト構造に基づくこのような過程の分類および、$h$-変換と熱多項式を用いた、非有界および有界状態空間設定における最初の通過時刻密度の導出である。

ABSTRACT

This work deals with first hitting time densities of Ito processes whose local drift can be modeled in terms of a solution to Burgers equation. In particular, we derive the densities of the first time that these processes reach a moving boundary. We distinguish two cases: (a) the case in which the process has unbounded state space before absorption, and (b) the case in which the process has bounded state space before absorption. The reason as to why this distinction has to be made will be clarified. Next, we classify processes whose local drift can be expressed as a linear combination to solutions of Burgers equation. For example the local drift of a Bessel process of order 5 can be modeled as the sum of two solutions to Burgers equation and thus will be classified as of class $\mathcal{B}^2$. Alternatively, the Bessel process of order 3 has a local drift that can be modeled as a solution to Burgers equation and thus will be classified as of class $\mathcal{B}^1$. Examples of diffusions within class $\mathcal{B}^1$, and hence those to which the results described within apply, are: Brownian motion with linear drfit, the 3D Bessel process, the 3D Bessel bridge, and the Brownian bridge.

研究の動機と目的

• Burgers方程式の解を用いてモデル化された局所的ドリフトを有するイト過程の最初の到達時刻の正確な密度を導出すること。
• ドリフトがBurgers方程式の解の和として表現可能かどうかに基づいて確率過程を分類し、$\mathcal{B}^k$分類を導入すること。
• 同じドリフト構造を持つ過程について、非有界状態空間と有界状態空間設定における最初の到達時刻行動の違いを区別すること。
• 熱多項式と3次元Bessel過程やブリッジなどの重要な拡散過程のドリフト構造との間の関係を確立すること。
• 3次元Besselブリッジが、熱多項式構成において唯一、$\mathcal{B}^2$ かつ $\mathcal{B}^1$ に属する過程であることを示すこと。

提案手法

• ドゥーブの$h$-変換を用いて測度を再重み付けし、標準ブラウン運動における期待値を元の測度下で導出する。
• 後方熱方程式の解を含む martingale 表現に伊藤の補題を適用する。
• 熱多項式 $v_n(x,t)$ および導出された熱多項式 $w_n(x,t)$ を用いて、特定のドリフト特性を持つ$h$-関数を構築する。
• 後方熱方程式 $-h_t = \frac{1}{2}h_{xx}$ を基盤として、所望のドリフトを生成する$h$-変換を構築する。
• ドリフトに含まれるBurgers方程式の解の数$k$に基づいて過程を分類し、$\mathcal{B}^k$ と定義する。$\mathcal{B}^1$ には定常ドリフト付きブラウン運動やBessel過程が含まれる。
• $w_n(x,t)$ および $v_n(x,t)$ の構造を分析し、変換過程のドリフトを決定する比 $w_n'(x,t)/w_n(x,t)$ を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所的ドリフトがBurgers方程式の解から導かれるイト過程が移動境界に到達する際の最初の到達時刻密度は何か？
• RQ2 ドリフトに含まれるBurgers方程式の解の数に基づいて、確率過程を体系的に分類する方法は何か？
• RQ3 同じドリフト構造を持つ場合、非有界状態空間と有界状態空間における過程の最初の到達時刻行動にはどのような相違があるか？
• RQ4 3次元Besselブリッジのような代表的な拡散過程は、$\mathcal{B}^1$ や $\mathcal{B}^2$ のどのクラスに属するか？また、それらの特徴的な構造的性質は何か？
• RQ5 熱多項式構成において、$\mathcal{B}^1$ かつ $\mathcal{B}^2$ に属する唯一の過程が存在するか？その場合、その意義は何か？

主な発見

• $\mathcal{B}^1$ の過程が移動境界に到達する最初の到達時刻密度は、$h$-変換と熱多項式構成を用いて明示的に導出された。
• 3次元Besselブリッジは、熱多項式フレームワーク下で唯一、$\mathcal{B}^1$ かつ $\mathcal{B}^2$ に属する過程であることが、$w_n(x,t)$ および $v_n(x,t)$ の構造から示された。
• 3次元Besselブリッジのドリフトが $\frac{w_0'(x,t)}{w_0(x,t)} = -\frac{x}{t}$ として表現可能であり、これがBurgers方程式を満たすことが示された。
• 3次元Bessel過程およびブラウン運動ブリッジは両方とも $\mathcal{B}^1$ に分類され、それぞれがBurgers方程式の単一の解から生じるドリフトを持つ。
• 比 $\frac{w_n'(x,t)}{w_n(x,t)}$ は $\frac{w_0'(x,t)}{w_0(x,t)} + \frac{v_n'(x,-t)}{v_n(x,-t)}$ として導出され、ドリフトと熱多項式の微分との関係が明確になった。
• $n=1$ の場合、比 $\frac{w_1'(x,t)}{w_1(x,t)} = -\frac{x}{t} + \frac{1}{x}$ が得られ、3次元Besselブリッジのドリフトを確認し、$\mathcal{B}^1$ への分類の妥当性を検証した。