[論文レビュー] On the Floer homology of cotangent bundles

Alberto Abbondandolo, Matthias Schwarz|ArXiv.org|Aug 20, 2004

Geometric and Algebraic Topology参考文献 24被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、コタングェントバンドル $T^*M$ のフローエホモロジーと自由ループ空間 $\Omega(M)$ の特異ホモロジーの間の新しい同型写像を、レジェンドル変換されたハミルトニアンと古典的ラグランジアン作用関数のモース複体との直接的比較によって確立する。フローエ軌道に対する改善された $L^\infty$ 評価を導入し、より広いクラスのハミルトニアンに対して可換性とコンパクトネスを保証する、余接バンドルのファイブレーション構造に基づく新しい幾何的アプローチを採用する。

ABSTRACT

This paper concerns Floer homology for periodic orbits and for a Lagrangian intersection problem on the cotangent bundle of a compact orientable manifold M. The first result is a new uniform estimate for the solutions of the Floer equation, which allows to deal with a larger - and more natural - class of Hamiltonians. The second and main result is a new construction of the isomorphism between the Floer homology and the singular homology of the free loop space of M, in the periodic case, or of the based loop space of M, in the Lagrangian intersection problem. The idea for the construction of such an isomorphism is to consider a Hamiltonian which is the Legendre transform of a Lagrangian on TM, and to construct an isomorphism between the Floer complex and the Morse complex of the classical Lagrangian action functional on the space of free or based loops on M of Sobolev class W(1,2).

研究の動機と目的

• コタングェントバンドル $T^*M$ のフローエホモロジーと自由ループ空間 $\Omega(M)$ の特異ホモロジーの間の標準的同型写像を、生成関数やコホモロジー的双対性に依存せずに直接的な幾何的構成により確立すること。
• ハミルトニアンが (H1) および (H2) を満たす場合に限り、計量の選択に依存しない、より広いクラスのハミルトニアンに対して有効な、$T^*M$ 上のフローエ方程式の解に対する鋭い $L^\infty$ 評価を構築すること。
• レジェンドル変換されたハミルトニアンのフローエ複体と $W^{1,2}$ ループ上の古典的作用関数のモース複体との間の複体レベルの同型写像を構成すること。
• コタングェントバンドルのラグランジュ的ファイブレーション構造に適合する、新しいグリューリングおよび摂動スキームを用いて、フローエ軌道のモジュライ空間の正規性とコンパクトネスを証明すること。
• ホモロジーの共役類による分解が $π_1(M)$ に由来するトップロジカル構造を保つように、同型写像が保存されることを保証すること。

提案手法

• コタングェントバンドル $T^*M$ 上のハミルトニアン $H$ をレジェンドル変換により $TM$ 上のラグランジアン $L$ に変換し、フローエ複体と作用関数 $\mathcal{E}$ のモース複体との関係を確立する。
• コーシー＝リーマン作用素の直接的解析により、微分や最大値原理を避けて、フローエ軌道に対する $L^\infty$ 評価を導入する。
• 符号 $\epsilon(u)$ を伴う $J$-正則曲線 $u \in \mathcal{M}^+(q,x)$ の数え上げによって定義される、チェーン写像 $\Theta_k: CM_k(\mathcal{E}) \to CF_k(H)$ の構成。
• サード＝スメールの定理とカールマン類似性原理を用いて、$\mathcal{J}_{\mathrm{reg}}(H,g)$ 内の almost complex 構造 $J$ の残渣的正則性を証明する。
• 折れた軌道のグリューリング定理を応用し、チェーン写像の性質 $\partial_{k-1}\Theta_k = \Theta_{k-1}\partial_k$ を確立する。
• 生成元を作用順に整列した基底において、$\Theta_k$ の行列が下三角行列であり、対角成分が $\pm 1$ であることを示し、逆行列を有することからチェーン同型写像であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 生成関数やコホモロジー的双対性に依存せず、$T^*M$ のフローエホモロジーと自由ループ空間 $\Omega(M)$ の特異ホモロジーの間の直接的な同型写像を構成可能か？
• RQ2 計量に依存しない最小限のハミルトニアンの仮定のもとで、$T^*M$ 上のフローエ軌道に対する $L^\infty$ 界をどのように確立できるか？
• RQ3 $W^{1,2}$ ループ上の古典的作用関数のモース複体は、レジェンドル変換されたハミルトニアンのフローエ複体とどのように自然に同一視できるか？
• RQ4 フローエ軌道のモジュライ空間が正規的かつコンパクトであるための条件は何か？ これにより、フローエホモロジーがwell-definedであることが保証される。
• RQ5 同型写像は $π_1(M)$ の共役類によるホモロジーの分解を保存するか？ これはループ空間の位相的構造を反映する。

主な発見

• フローエホモロジー $HF_*(T^*M)$ は、特異ホモロジー $H_*(\Omega(M))$ と自然に同型であり、モース複体とフローエ複体の複体レベルの対応によって構成される。
• 自然な条件 (H1) および (H2) の下で、$L^\infty$ 評価が確立され、計量に依存せず、従来の結果よりも広いクラスのハミルトニアンを扱える。
• 生成元を作用順に整列した基底において、$\Theta_k$ の行列が下三角行列かつ対角成分が $\pm 1$ であるため、$\Theta_k$ は可逆であり、チェーン同型写像であることが示された。
• 残渣的 $J$ に対して、モジュライ空間 $\mathcal{M}^+(q,x)$ の正規性が達成され、フローエ微分における数え上げがwell-definedであることが保証された。
• 同型写像は $π_1(M)$ の共役類によるホモロジーの分解と整合し、ループ空間のファイブレーション構造を反映している。
• 生成関数やコホモロジー的手段を一切避けて、直接的な幾何的証明により同型写像を構成した。これは、ヴィテルボの元々のアプローチとは対照的である。