[論文レビュー] On the Frey-Mazur conjecture over low genus curves

Benjamin Bakker, Jacob Tsimerman|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、低(genus)の曲線の関数体上における偽楕円曲線—クaternion型乗法をもつアーベル曲面—について、Frey-Mazur予想の幾何的類似を確立する。モジュラー曲面 $ Z^D(p) $ の幾何と、曲線の genus に対する Riemann-Hurwitz 界を分析することにより、十分に大きな $ p $ に対して、$ p $-torsion Galois 表現が同型であるような任意の2つのこのようなアーベル曲面は、$ \mathcal{O}_D $-同種であることが示される。ただし、底曲線の genus が固定された値 $ k $ より小さいことが前提である。

ABSTRACT

The Frey--Mazur conjecture states that an elliptic curve over $\mathbb{Q}$ is determined up to isogeny by its $p$-torsion Galois representation for $p\geq 17$. We study a geometric analog of this conjecture, and show that the map from isogeny classes of "fake elliptic curves"---abelian surfaces with quaternionic multiplication---to their $p$-torsion Galois representations is one-to-one over function fields of small genus complex curves for sufficiently large $p$ relative to the genus.

研究の動機と目的

• 関数体上におけるクaternion型乗法をもつアーベル曲面の文脈で、Frey-Mazur 予想の幾何的類似を確立すること。
• 十分に大きな $ p $ に対して、$ p $-torsion Galois 表現の同型が、低 genus の曲線上で $ \mathcal{O}_D $-同種を意味することを示すこと。
• モジュラー曲面 $ Z^D(p) $ 及びその Hecke 除数の幾何を分析し、低 genus の非 Hecke 曲線を除外すること。
• Hwang-To 及び Andre-Deligne の結果を活用して、Riemann-Hurwitz と CM 点の重複度を用いて、$ X^D(p) \times X^D(p) $ 内の曲線の genus を界する。
• 主定理における定数 $ N $ が、底曲線の gonality のみに依存することを示し、先行研究を拡張すること。

提案手法

• 曲線 $ B \to Z^D(p) $ を、$ \mathcal{O}_D $-作用とレベル構造をもつアーベル曲面をパラメトライズする $ X^D(p) $ の積 $ X^D(p) \times X^D(p) $ に上げる。
• $ X^D(p)_0 $ への射影 $ \pi: C \to X^D(p)_0 $ に Riemann-Hurwitz を適用し、$ g(C) $ の下界を canonical divisor $ K_{X^D(p)_0 \times X^D(p)_0} $ の項で得る。
• Andre-Deligne を用いて、非 Hecke 曲線におけるモノドロミーの Zariski 稠密性を用いて、このような曲線は大規模な双次数を持つ必要があることを示し、大規模な genus を示す。
• $ C \to B $ の分岐除数を、$ X^D(p) \times X^D(p) \to Z^D(p) $ の特異点、特に Heegner 及び反 Heegner CM 点におけるインシデントを分析することで界する。
• 双曲的計量推定を用いて、Heegner CM 点は低次数の Hecke 曲線の近傍を除き、互いに良好に分離されていることを示し、Hwang-To の体積界を用いて曲線のインシデントを制約する。
• 射影からの genus 下界と CM 重複度からの上界を組み合わせ、$ p $ が十分に大きい場合に矛盾を導き出し、すべての such 曲線が Hecke 除数上にあることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかで準射的な複素曲線 $ B $ が genus $ g < k $ をもつとき、$ B $ 上のアーベル曲面上の $ \mathcal{O}_D $-モジュールとして同型な $ p $-torsion 局所系が、$ \mathcal{O}_D $-同種を引き起こすのはいつか？
• RQ2 Hecke 曲線を因数分解しない $ X^D(p) \times X^D(p) $ 内の曲線の genus は、$ p \to \infty $ のときどのように漸近的挙動を示すか？
• RQ3 CM 点（Heegner 及び反 Heegner）における高重複度の曲線のインシデントは、$ Z^D(p) $ の幾何にどのように制約を加えるか？
• RQ4 主定理における定数 $ N $ を、その genus ではなく底曲線の gonality のみに依存するようにとれるか？
• RQ5 コンパクト Shimura 曲線に用いられた技法が、非コンパクトまたは高 genus の場合にどの程度拡張可能か？

主な発見

• 任意の $ k > 0 $ に対して、$ N > 0 $ が存在し、$ g(B) < k $ をみたす任意の滑らかな曲線 $ B \to Z^D(p) $ が $ p > N $ のとき Hecke 除数を因数分解する。これは主定理の証明である。
• 非 Hecke 曲線 $ B \to Z^D(p) $ を上に引き上げた曲線 $ C \subset X^D(p)_0 \times X^D(p)_0 $ の genus は、$ C \cdot K_{X^D(p)_0 \times X^D(p)_0} $ の線形関数として下界で界せられるが、$ \mathrm{mult}_{\mathrm{CM}}(C) = o(C \cdot K) $ のため、上界は漸近的に遅く成長する。
• 双曲的計量において、Heegner CM 点は低次数の Hecke 曲線の近傍を除き、良好に分離されている。これにより、体積に基づく曲線インシデントの制約が可能である。
• 反 Heegner CM 点を通る Hecke 曲線の不在は、共役 Hecke 曲線について類似の体積界を証明することで克服される。
• 主定理における定数 $ N $ は、[BT14] の技法の拡張により、底曲線の gonality のみに依存するようにとれる。
• 標準的な専用化議論により、$ \overline{\mathbb{F}}_\ell $ 上でも、十分に大きな $ \ell $ に対して結果は成り立つ。