[論文レビュー] On the Full Holonomy of Lorentzian Manifolds with Parallel Weyl Tensor

Daniel Schliebner|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2012

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 5被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、共形平坦でもなく局所的に対称でもない、平行なWeylテンソルを持つコンパクトなローレンツ多様体の完全なホロノミー群を計算する。このような多様体が測地的完全であることを証明し、その普遍被覆が完全なpp波計量と等長であることを示す。主な結果は、縮約ホロノミーがR^{n−2}であること、そして基本群の条件の下で、完全ホロノミーがR^{n−2}に等しいことである。さらに、普遍被覆の等長群の単位成分が、SO(n−2)の部分群Sとハイゼンベルク群He(n−2)の半直積に同型であることを示す。

ABSTRACT

We compute the full holonomy group of compact Lorentzian manifolds with parallel Weyl tensor, which are neither conformally flat nor locally symmetric, for the case where the fundamental group is contained in a distinguished subgroup G of the isometry group of the universal cover. To prove this, we show that every such compact Lorentzian manifold has to be geodesically complete. Moreover we characterize the identity component of the isometry group for this universal cover and show that G is up to a discrete factor contained in the latter. Concretely, we prove that the identity component of the isometry group is isomorphic to a semidirect product of a subgroup of SO(n) with the Heisenberg group.

研究の動機と目的

• 共形平坦でもなく局所的に対称でもない、平行なWeylテンソルを持つコンパクトなローレンツ多様体の完全ホロノミー群を特定すること。
• ホロノミー群と等長群の解析に不可欠な、このようなコンパクト多様体の測地的完全性を確立すること。
• 普遍被覆の等長群の単位成分が、SO(n−2)の部分群とハイゼンベルク群He(n−2)の半直積として同型であることを特徴づけること。
• 基本群がホロノミーを制約する役割を明確にすること、特にπ₁(M)が特定の(2n−3)次元部分群G ≅ ℤ ⋉ He(n−2)に含まれる場合の条件を特定すること。

提案手法

• ホロノミーの原理と、完全に光的である平行な分布（Olszak分布）の存在を用いて、ホロノミー表現を制限する。
• DerdzińskiとRoterによる、本質的に平行なWeylテンソルを持つ多様体の分類結果を応用し、普遍被覆が完全なpp波計量であることを同定する。
• CFS03の結果を用いて、計量係数κの勾配を含む特定の微分方程式の解の全域存在性に帰着することで、普遍被覆の測地的完全性を証明する。
• 普遍被覆上のキリングベクトル場を解析し、等長代数を特定し、等長群の単位成分を同定する。
• ハイゼンベルク代数とSO(n−2)のリー代数の間の交換関係を用いて、半直積構造を構成する。
• リー部分群S ⊂ SO(n−2)を、V上のトレースレス自己随伴作用素Aの中心化子として特徴づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 共形平坦でもなく局所的に対称でもない、平行なWeylテンソルを持つコンパクトなローレンツ多様体の完全ホロノミー群は何か？
• RQ2 基本群π₁(M)にどのような条件を課すと、完全ホロノミー群がR^{n−2}に等しくなるか？
• RQ3 普遍被覆の等長群の単位成分は、リー群構造の観点からどのように特徴づけられるか？
• RQ4 このような普遍被覆の等長群の最大次元は何か？また、作用素Aにどのように依存するか？
• RQ5 コンパクトなローレンツ多様体に平行なWeylテンソルを持つ文脈において、仮定π₁(M) ⊂ ℤ ⋉ He(n−2)はどれほど制限的か？

主な発見

• 本質的に平行なWeylテンソルを持つ任意のコンパクトなローレンツ多様体(M^n, g)の普遍被覆(fM, eg)は、R^n上での完全なpp波計量と等長である。
• このようなすべてのコンパクトなローレンツ多様体は、関連する微分方程式の最大解が実直線上で定義されるため、測地的完全である。
• 多様体(M^n, g)の縮約ホロノミー群はR^{n−2}に同型であり、これはホロノミー表現における最大アーベル部分群である。
• 基本群π₁(M)がG ≅ ℤ ⋉ He(n−2)に含まれる場合、完全ホロノミー群Hol(M^n, g)はR^{n−2}に等しい。
• 普遍被覆の等長群の単位成分は、S ⋉ He(n−2)に同型であり、ここでSはトレースレス自己随伴作用素Aと可換なSO(n−2)のリー部分群である。
• 特定の状況（dim V = n−2 かつAが次元n−3と1の固有空間を持つ）では、等長群の次元はn(n+1)/2 − (2n−3)であり、これはSO(n−2) × He(n−2)の最大可能次元より厳密に小さい。