[論文レビュー] On the generalization of the GMS evolutionary model

Skevi Michael, Stanislav Volkov|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2011

Complex Systems and Time Series Analysis参考文献 8被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、各時刻ステップで1匹の種の出生または絶滅ではなく、独立同分布の確率変数で表される任意の数の種が出生または消滅するという、GMS進化モデルの一般化を行う。特定の条件下で、生存種の適応度が[ f,1 ]上に一様分布に収束することを証明している。ここで f ∈ [0,1) である。また、絶滅が再帰的である場合、全個体数の時間的変動は再帰的過程として振る舞う。

ABSTRACT

We study a generalization of the evolution model proposed by Guiol, Machado and Schinazi (arXiv:0909.2108). In our model, at each moment of time a random number of species is either born or removed from the system; the species to be removed are those with the lower fitnesses, fitnesses being some numbers in $[0,1]$. We show that under some conditions, a set of species approaches (in some sense) a sample from a uniform distribution on $[f,1]$ for some $f\in [0,1)$, and that the total number of species forms a recurrent process in most other cases.

研究の動機と目的

• 1ステップあたり1匹の出生または絶滅を仮定するGMSモデルを、任意の数の種が追加または削除可能な形に拡張すること。
• 一般化された独立同分布の出生・死プロセスにおける、システムの長期的挙動を調査すること。
• 何らかの f ∈ [0,1) に対して、生存種の適応度が[ f,1 ]上に一様分布に近づく条件を同定すること。
• 一般化モデルにおける全個体数プロセスの再帰性または絶滅の性質を分析すること。

提案手法

• モデルは単位区間[0,1]上で定義され、各種は独立同分布に従ってU[0,1]から適応度値を割り当てられる。
• 各時刻ステップで、確率pでZn匹の新種が追加され（Zは独立同分布）、確率q=1−pでXn匹の適応度が最も低い種が削除される（Xも独立同分布）。
• システムは空の状態から開始され、個体数は|Tn+1| = |Tn| + Zn（出生時）またはmax(|Tn| − Xn, 0)（死時）として更新される。
• 漸近的挙動の分析には、大数の法則およびBorel-Cantelli補題が用いられる。
• 主な道具は、R′n（適応度が[f,1]に属する新種の集合）とRnε（時刻nを過ぎても生存する[f+ε,1]内の種の集合）の定義であり、臨界閾値pc = μZ / μXが導入される。
• 証明はμZとμXが有限か無限かに応じた場合分けに基づき、カップリング法とほとんど確実収束を用いて、極限挙動を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 何らかのf ∈ [0,1) に対して、生存種の適応度が[ f,1 ]上に一様分布に収束する条件は何か？
• RQ2 出生および死プロセスの期待値μXおよびμZに依存して、システムの長期的挙動はどのように変化するか？
• RQ3 個体数プロセスが再帰的であるか、あるいは最終的に空になるかを決定づける要因は何か？
• RQ4 期待出生数μZが無限大である場合、あるいは期待死滅数μXが無限大である場合、それぞれ何が生じるか？
• RQ5 一般化された設定下で、自己組織的臨界性またはパunctuated equilibrium的挙動を示すか？

主な発見

• μZ = ∞ かつ μX < ∞ の場合、システムはU[0,1]からの確率的サンプルに近づく。これは、すべての適応度が漸近的に一様分布に従うことを意味する。
• μZ < ∞ かつ μX < ∞ で、p > pc = μZ / μX の場合、システムはU[f,1]からの確率的サンプルに近づく。ここでf = 1 − pcであり、これは適応度の閾値を示し、それ以上の適応度を持つ種が生存することを意味する。
• μZ < ∞ かつ p < pc または μX = ∞ の場合、システムはほとんど確実に無限回空になる。これは再帰的絶滅を示している。
• 生存種集合がU[f,1]に近づく際の近似誤差は、任意のε > 0に対してo(n^{1/2+ε})のオーダーである。これは、元のGMSモデルの結果を拡張している。
• μZ = ∞ かつ μX < ∞ の場合、死滅種の割合は無視可能になるため、生存種集合は漸近的にすべての出生種の集合と一致する。
• μX, μZ < ∞ かつ p = pc の臨界ケース、およびμX = μZ = ∞ の場合、挙動は未解明であり、今後の研究課題として残っている。