[論文レビュー] On the genericity of positive exponents of conservative skew products with two-dimensional fibers

Davi Obata, Mauricio Poletti|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2018

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、中心束縛性を満たす2次元の繊維を持つ双曲的基底上の保存的スキュー積系において、正のリャプノフ指数の $C^1$-密度および $C^r$-開性を、中心束縛性と摂動技法を用いて確立する。一般に $C^r$-開かつ $C^1$-稠密な部分集合において、統合中心リャプノフ指数 $L(f) > 0$ であることが証明され、これはほとんど everywhere で非一様な双曲的性を示している。

ABSTRACT

In this paper we study the existence of positive Lyapunov exponents for three different types of skew products, whose fibers are compact Riemannian surfaces and the action on the fibers are by volume preserving diffeomorphisms. These three types include skew products with a volume preserving Anosov diffeomorphism on the basis; or with a subshift of finite type on the basis preserving a measure with product structure; or locally constant skew products with Bernoulli shifts on the basis. We prove the $C^1$-density and $C^r$-openess of the existence of positive Lyapunov exponents on a set of positive measure in the space of such skew products.

研究の動機と目的

• 保存的スキュー積系における正のリャプノフ指数の一般性を調査すること。
• 中心束縛性を満たす $C^r$-部分双曲的かつ体積保存的スキュー積系の空間において、正の中心リャプノフ指数が $C^1$-稠密かつ $C^r$-開であることを確立すること。
• 可アクセス性や完全な体積保存構造に依存しないように、アンノソフやベルヌーイ的基底動力学を超えて結果を拡張すること。
• 有限型符号移動系や積測度をもつ定数係数コサイクルの上でのスキュー積に適用可能な枠組みを提供すること。

提案手法

• オセレデーツの定理を用いて中心方向のリャプノフ指数を定義し、統合中心指数 $L(f) = \int \lambda_c^+(x) \, d\text{leb}(x)$ を定義する。
• 中心束縛性を適用して、摂動議論に不可欠な線形ホロノミーの存在を保証する。
• $C^1$-摂動を用いて、繊維力学におけるピンチング性に依存して正の $L(f)$ をもつスキュー積を構成する。
• [20] の測度収束およびホロノミー写像に関する技法を適応し、不変測度の弱$^*$収束を証明する。
• 可測ホロノミー写像 $\mathcal{H}_k$ 及びその収束を用いて $\tilde{m}^k \to \tilde{m}$ を確立し、条件付き測度の正則性を保証する。
• 可測選択論法を適用して、分解 $\tilde{m}_p$ が $\mathbf{B}_0$-可測であることを示し、測度論的基盤を完成させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正の中心リャプノフ指数をもつ $C^r$-部分双曲的かつ体積保存的スキュー積系の集合は、$C^1$-稠密か？
• RQ2 このような系で正の $L(f)$ をもつ集合は $C^r$-開か？
• RQ3 結果は、局所積構造をもつ測度をもつ有限型符号移動系上のスキュー積へ拡張可能か？
• RQ4 2次元の繊維仮定を除去し、より高次元の繊維を許容できるか？
• RQ5 ピンチング性は、このようなスキュー積系の空間において $C^r$-稠密か？

主な発見

• 中心束縛性を満たす $C^r$-部分双曲的かつ体積保存的スキュー積系のうち、$L(f) > 0$ をもつ集合は、この空間において $C^1$-稠密である。
• 同様の集合は $C^r$-開であり、正のリャプノフ指数が小さな $C^r$-摂動に対しても安定であることを示している。
• 正の $L(f)$ の存在は、$\lambda_c^+(x) > 0$ a.e. であるため、ほとんど everywhere で非一様双曲的性を示している。
• 結果は3つのクラスに適用可能である：アンノソフ微分同相写像上のスキュー積、積的測度をもつ有限型符号移動系上のスキュー積、およびベルヌーイ移動上の定数係数スキュー積。
• 可アクセス性や完全な体積保存構造に依存しないため、先行研究よりも広範な適用可能性を有する。
• 著者らは、結果が高次元の繊維へ拡張可能であり、一般には少なくとも1つの正のリャプノフ指数が存在すると予想している。