[論文レビュー] On the Geometry of Moduli Space of Polarized Calabi-Yau manifolds

Michael R. Douglas, Zhiqin Lu|ArXiv.org|Mar 16, 2006

Geometry and complex manifolds参考文献 21被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、極小化されたカラビ-ヤウ多様体のモジュライ空間上のウェイル＝ペトロフスキー計量の曲率不変量の有限性と有理数性を確立する。特異的コンパクト化におけるホッジ理論とカットオフ関数を用いて、曲率形式の不変多項式の積分が有限であり、有理数であることを証明する。これは、非コンパクトなモジュライ空間へのガウス＝ボンネ＝シューエン型結果の拡張であり、弦理論におけるフラックスコンパクト化に応用を持つ。

ABSTRACT

In this paper, we study the Chern classes on the moduli space of polarized Calabi-Yau manifolds. We prove that the integrations of the invariants of the curvature of the Weil-Petersson metric are finite. In some special cases, they are even rational numbers.

研究の動機と目的

• 極小化されたカラビ-ヤウ多様体のモジュライ空間上のウェイル＝ペトロフスキー計量の曲率不変量の有限性を確立すること。
• モジュライ空間が非コンパクトであるにもかかわらず、これらの曲率不変量が有理数であることを証明すること。
• ホッジ理論と特異的コンパクト化技術を用いて、ガウス＝ボンネ＝シューエン定理の精神を非コンパクトなカラビ-ヤウモジュライ空間へ拡張すること。
• 弦理論におけるフラックス真空の有限性に関する物理的議論の数学的基盤を提供すること。

提案手法

• 特異的カラビ-ヤウ多様体に対応する除数 D を加えることによって、モジュライ空間のコンパクト化を構成する。
• 特異性の近傍での積分を局所化するために、台とラプラシアンの境界が制御されたカットオフ関数 ρε を用いる。
• 一般化された最大原理とホッジ計量技術を用いて、特異的集合近傍での曲率および接続形式の制御を行う。
• 距離 r1 からの曲率および接続形式の減衰を、ゲージ変換を用いて推定する。
• 曲率形式 R − R₀ が正確である（R − R₀ = ∂̄(θ − θ₀)）という事実に依拠して、積分を ∂̄ρ と曲率成分の形に表現する。
• 多項式 f がゲージ変換に対して不変であることを利用して、積分をバウンドし、ε → 0 のときの収束を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非コンパクトなカラビ-ヤウモジュライ空間上でのウェイル＝ペトロフスキー曲率不変量の積分は有限か？
• RQ2 コンパクト性が欠如しているにもかかわらず、これらの曲率不変量は有理数値をとるか？
• RQ3 ホッジ理論的手法を用いて、ガウス＝ボンネ＝シューエン定理を非コンパクトなモジュライ空間へ拡張できるか？
• RQ4 特別なケーラー多様体の不完全性と曲率不変量の有限性との間に関係はあるか？
• RQ5 ホッジバンドル計量は、曲率不変量の有理数性においてどのような役割を果たすか？

主な発見

• 不変多項式 f に対するウェイル＝ペトロフスキー曲率形式の積分は、定理4で示されるように有限である。
• これらの曲率不変量は有理数であり、定理5およびその後続の研究[7]で確立された。
• 積分 ∫ℳ ρ(f(R,R) − f(R₀,R₀)) の極限は ε → 0 のとき 0 に収束し、したがって ∫ℳ f(R,R) = ∫ℳ f(R₀,R₀) が成り立つ。
• ∫ℳ f(R₀,R₀) はガウス＝ボンネ＝シューエン定理により整数であるから、∫ℳ f(R,R) に対しても同様に整数である。
• ウェイル＝ペトロフスキー計量が H^{n-1,1} および H^{n,0} 上のホッジバンドル計量と関係していることから、有理数性の結果が拡張される。
• 対数的減衰推定 r1 を用いた特異的振る舞いの制御により、D 近傍での可積分性が保証される。