[論文レビュー] On the geometry of Riemannian manifolds with density

William Wylie, Dmytro Yeroshkin|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2016

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 23被引用数 25

ひとこと要約

本稿では、リーマン多様体に密度を導入するための幾何的枠組みを、Levi-Civita接続と射影的に同値な torsion-free なアフィン接続 $\nabla^\alpha$ を用いて提案する。この接続は自然に 1-Bakry-Émery リッチテンソルを生じさせ、その接続に基づく一般化された体積およびラプラシアンの比較定理が得られ、1-Bakry-Émery リッチ曲率の下で、新しいマイヤーズの定理およびチェンの直径剛性定理、さらに重み付きホロノミーに関する de Rham 型の分解定理が導かれる。ここで用いられる積構造は、通常の等長積ではなくワーペッド積である。

ABSTRACT

We introduce a new geometric approach to a manifold equipped with a smooth density function that takes a torsion-free affine connection, as opposed to a weighted measure or Laplacian, as the fundamental object of study. The connection motivates new versions of the volume and Laplacian comparison theorems that are valid for the 1-Bakry-Emery Ricci tensor, a weaker assumption than has previously been considered in the literature. As applications we prove new generalizations of Myers' theorem and Cheng's diameter rigidity result. We also investigate the holonomy groups of the weighted connection. We show that they are more general than the Riemannian holonomy, but also exhibit some of the same structure. For example, we obtain a generalization of the de Rham splitting theorem as well as new rigidity phenomena for parallel vector fields. A general feature of all of our rigidity results is that warped or twisted product splittings are characterized, as opposed to the usual isometric products.

研究の動機と目的

• 密度付きリーマン多様体の研究において、重み付き測度やラプラシアンではなく、torsion-free なアフィン接続を基本対象として扱う新しい幾何的アプローチの構築。
• 1-Bakry-Émery リッチテンソルを用いた体積およびラプラシアンの比較定理の確立。これは、従来の文献で用いられていたものよりも弱い曲率仮定を必要とする。
• 1-Bakry-Émery リッチ曲率条件下でのマイヤーズの定理およびチェンの直径剛性結果の一般化。
• 重み付き接続 $\nabla^\alpha$ のホロノミー群の研究を行い、リーマンホロノミーよりも一般であるが、依然として分解定理や剛性現象を示すことを示す。
• 剛性結果において、通常の等長積構造の代わりにワーペッド積またはねじれ付き積構造が生じることの特定。

提案手法

• 1-形式 $\alpha$ を用いて、Levi-Civita 接続 $\nabla$ と射影的に同値な torsion-free なアフィン接続 $\nabla^\alpha$ を定義する。式は $\nabla^\alpha_U V = \nabla_U V - \alpha(U)V - \alpha(V)U$ で与えられる。
• $\nabla^\alpha$ のリッチ曲率が、1-Bakry-Émery リッチテンソル $\mathrm{Ric}_f^1 = \mathrm{Ric}_g + \mathrm{Hess}f + \frac{df \otimes df}{n-1}$ に等しいことを示し、重み付き曲率との直接的な関係を確立する。
• $\nabla^\alpha$ を用いて、重み付きの断面曲率の新しい定義を導入し、$\mathrm{Ric}_f^1$ を根拠とした体積およびラプラシアンの比較定理を導出する。
• $\nabla^\alpha$ のホロノミー群 $\mathrm{Hol}^\alpha(M,g)$ を分析し、そのコンパクト性が多様体上に Codazzi テンソルの存在を示すことを見る。
• $\mathrm{Hol}^\alpha$ がコンパクトで $\overline{\sec}_\varphi > 0$ ならば、任意の $\nabla^\alpha$ と整合する計量 $\widetilde{g}$ に対して $\sec_{\widetilde{g}} > 0$ が成り立ち、非負、負、非正の曲率に対しても同様の結果が得られることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 密度付き多様体の研究において、重み付き測度やラプラシアンの代わりに torsion-free なアフィン接続を基本的対象として用いることは可能か？
• RQ2 1-Bakry-Émery リッチテンソルを曲率条件として用いる場合の意味は何か。特に、より制限の強い $N$-Bakry-Émery 場合と比較してどう異なるか。
• RQ3 重み付き接続 $\nabla^\alpha$ のホロノミー群はどのように振る舞い、その構造からどのような剛性結果が得られるか。
• RQ4 de Rham の分解定理は重み付き設定に一般化可能か。もし可能であれば、どのような積構造（等長積対比してワーペッド積）が生じるか。
• RQ5 元の計量に関する Codazzi テンソルと接続 $\nabla^\alpha$ に関する Codazzi テンソルとの関係は何か。この関係は曲率の剛性にどのように影響するか。

主な発見

• $\nabla^\alpha$ のリッチ曲率は、正確に 1-Bakry-Émery リッチテンソル $\mathrm{Ric}_f^1$ に等しく、この曲率対象の直接的な幾何的実現が達成された。
• 1-Bakry-Émery リッチテンソルを用いた新しい体積およびラプラシアンの比較定理が、従来の結果よりも弱い曲率仮定のもとで成立することが証明された。
• 一般化されたマイヤーズの定理が確立された：$\mathrm{Ric}_f^1 > 0$ ならば、多様体は有限な直径を持つ。これは古典的結果の拡張である。
• 一般化されたチェンの直径剛性定理が証明された：$\mathrm{Ric}_f^1 \geq (n-1)k > 0$ ならば、直径は $\pi / \sqrt{k}$ 以下であり、等号が成り立つのは多様体が球面に等長である場合に限る。
• de Rham 型の分解定理が証明された：ホロノミー群 $\mathrm{Hol}^\alpha$ がコンパクトならば、多様体は等長積ではなくワーペッド積に分解する。
• $\mathrm{Hol}^\alpha$ がコンパクトで $\overline{\sec}_\varphi > 0$ ならば、任意の $\nabla^\alpha$ と整合する計量 $\widetilde{g}$ に対して $\sec_{\widetilde{g}} > 0$ が成り立ち、非負、負、非正の曲率に対しても同様の結果が得られる。